Luận án Khái niệm hàm số mũ ở trung học phổ thông: Nghiên cứu khoa học luận và chuyển hóa sư phạm

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
Nguyễn Hữu Lợi 
KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ 
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN 
VÀ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
Nguyễn Hữu Lợi 
KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ 
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN 
VÀ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM 
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán 
Mã số : 62 14 01 11 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
1. TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH 
2. PGS. TS. LÊ VĂN TIẾN 
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 
 LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả 
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố trong bất kỳ công 
trình nào. 
 Tác giả luận án 
 Nguyễn Hữu Lợi 
 MỤC LỤC 
LỜI CAM ĐOAN 
MỤC LỤC 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ 
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 1 
1.1. Về vấn đề dạy học phát triển năng lực, tích hợp liên môn, mô hình hóa và dạy học 
thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán ............................................ 1 
1.2. Về khái niệm hàm số mũ ................................................................................................. 3 
1.3. Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước ................................................ 4 
1.3.1. Những nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực HS, dạy học tích hợp liên môn, 
dạy học mô hình hóa và dạy học thông qua thực hành và trải nghiệm trong môn Toán .... 4 
1.3.2. Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở nước ngoài .................................... 14 
1.3.3. Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở Việt Nam ...................................... 16 
1.3.4. Định hướng nghiên cứu .......................................................................................... 17 
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ................................................................................. 18 
3. Giới hạn phạm vi đề tài ........................................................................................... 18 
4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu .............................................................................. 18 
4.1. Giải thích thuật ngữ: ...................................................................................................... 18 
4.2. Mục tiêu nghiên cứu: ..................................................................................................... 20 
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 21 
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận ................................................................................... 21 
5. 2. Phương pháp nghiên cứu khoa học luận ....................................................................... 22 
5.3. Phương pháp phân tích tài liệu ...................................................................................... 22 
5.4. Thực nghiệm sư phạm ................................................................................................... 22 
6. Giả thuyết nghiên cứu ............................................................................................. 22 
7. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 22 
8. Đóng góp của luận án và ý nghĩa của luận án ....................................................... 23 
8.1. Đóng góp của luận án .................................................................................................... 23 
8.2. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận án ....................................................................... 23 
9. Cấu trúc của luận án ............................................................................................... 24 
 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................................ 25 
1.1. Một số cơ sở lý luận về dạy học phát triển năng lực trong môn Toán .......................... 25 
1.1.1. Quan điểm về năng lực ........................................................................................... 25 
1.1.2. Phân loại năng lực toán học trong môn Toán ......................................................... 26 
1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn ...................................................................... 26 
1.1.4. Năng lực mô hình hóa toán học .............................................................................. 31 
1.1.5. Đặc điểm của dạy học phát triển năng lực trong môn Toán ................................... 32 
1.1.6. Tổ chức dạy học phát triển năng lực ...................................................................... 34 
1.2. Một số cơ sở lý luận về dạy học tích hợp liên môn ....................................................... 34 
1.2.1. Quan điểm về tích hợp ............................................................................................ 35 
1.2.2. Quan điểm về liên môn ........................................................................................... 35 
1.2.3. Quan điểm về dạy học tích hợp liên môn ............................................................... 36 
1.2.4. Ý nghĩa của dạy học tích hợp liên môn trong môn Toán ....................................... 37 
1.2.5. Tổ chức dạy học tích hợp liên môn trong môn Toán ............................................. 37 
1.3. Một số cơ sở lý luận về dạy học mô hình hóa trong môn Toán .................................... 38 
1.3.1. Mô hình hóa toán học ............................................................................................. 38 
1.3.2. Ý nghĩa của mô hình hóa ........................................................................................ 39 
1.3.3. Tổ chức dạy học mô hình hóa trong môn Toán ...................................................... 40 
1.3.4. Quá trình mô hình hóa toán học ............................................................................. 40 
1.3.5. Phân loại các mức độ năng lực mô hình hóa .......................................................... 43 
1.4. Một số cơ sở lý luận về dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm trong 
môn Toán .............................................................................................................................. 45 
1.4.1. Một số khái niệm cơ bản ........................................................................................ 45 
1.4.2. Sự cần thiết phải tổ chức hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán .... 47 
1.4.3. Đặc điểm của hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán ...................... 48 
1.4.4. Vai trò của hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán .......................... 50 
1.4.5. Các hình thức, phương pháp tổ chức hoạt động thực hành và trải nghiệm trong 
môn Toán .......................................................................................................................... 51 
1.4.6. Một số mô hình dạy học thông qua hoạt động trải nghiệm .................................... 52 
1.5. Một số yếu tố lý thuyết của didactic Toán..................................................................... 56 
1.5.1. Didactic toán và đối tượng nghiên cứu của didactic toán....................................... 56 
1.5.2. Nghiên cứu khoa học luận ...................................................................................... 58 
1.5.3. Chuyển hóa sư phạm .............................................................................................. 59 
1.5.4. Khái niệm kiểu nhiệm vụ........................................................................................ 61 
1.5.5 Hợp thức hóa nội tại và hợp thức hóa ngoại vi ....................................................... 61 
1.6. Kết luận chương 1 ......................................................................................................... 62 
CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN HÀM SỐ MŨ ......................... 63 
2.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển của hàm số mũ ............................................... 63 
2.1.1. Giai đoạn cổ xưa đến thế kỷ 17 .............................................................................. 64 
2.1.2. Giai đoạn từ thế kỷ 17 đến nay ............................................................................... 74 
2.2. Hàm số mũ ở cấp độ đại học ......................................................................................... 84 
2.2.1. Hàm số mũ trong giáo trình Toán cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – Các hàm 
thông dụng, Guy Lefort, Viện Đại học Sài gòn, 1975. ..................................................... 84 
 2.2.2. Hàm số mũ trong giáo trình Les Logarithmes et leurs applications, André 
Delachet, Presses Universitaire de France, 1960 .............................................................. 90 
2.2.3. Hàm số mũ trong  Fonction_exponentielle .............. 93 
2.3. Kết luận chương 2 ......................................................................................................... 95 
2.3.1. Tiến trình đưa vào hàm số mũ ................................................................................ 95 
2.3.2. Phạm vi tác động của khái niệm hàm số mũ .......................................................... 96 
2.3.3. Các đối tượng có liên quan ..................................................................................... 96 
2.3.4. Một số bài toán liên quan hàm số mũ ..................................................................... 96 
2.3.5. Về vấn đề mô hình hóa, áp dụng hàm số mũ vào giải bài toán thực tiễn ............... 97 
CHƯƠNG 3: HÀM SỐ MŨ TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA VÀ THỰC 
TRẠNG DẠY HỌC ..................................................................................................... 98 
3.1. Hàm số mũ trong sách giáo khoa phổ thông Việt Nam ................................................. 98 
3.1.1. Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ........................................................... 98 
3.1.2. Sách giáo khoa Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên – bộ 1 .................................. 100 
3.1.3. Sách giáo khoa Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên – bộ 2 .................................. 103 
3.1.4. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao................................................................... 104 
3.2. Hàm số mũ trong sách giáo khoa Pháp ....................................................................... 106 
3.2.1. Giai đoạn cải cách toán học hiện đại những năm 1970 theo trường phái Bourbaki
 ....................................... ... .................... 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
PL40 
PHIẾU 3-MHH-NHÓM 
 Bài toán 2: Hàm số 0,4( ) 5 xy f x e dùng để xấp xỉ lượng miligram y của một 
loại ma túy có trong máu của bệnh nhân sau x giờ sử dụng. Hỏi có bao nhiêu miligram ma 
túy trong máu bệnh nhân sau 6 giờ sử dụng (kết quả lấy đến 2 chữ số thập phân). 
Bài làm 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
PL41 
PHIẾU 4-TN-HS. 
HS làm cá nhân trong 10 phút để giải bài toán và trả lời các câu hỏi sau: 
 Bài toán 3: 
Áp suất không khí p (mmHg) trên máy bay giảm khi nó tăng độ cao và được xấp xỉ 
bởi hàm số 0,145( ) 760 hp h e , trong đó h (km) là độ cao của máy bay so với mặt nước 
biển. 
Tính áp suất không khí khi máy bay ở độ cao 2 km so với mực nước biển (kết quả lấy 
đến 3 chữ số thập phân). 
Bài làm 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
 ................................................................................................................................................ 
PL42 
PHIẾU 4-TN-HS.. 
TỰ ĐÁNH GIÁ CỦA HỌC SINH 
Các em hãy tự đánh giá về việc tham gia hoạt động bằng cách đánh dấu X vào ô 
tương ứng. 
(Cụ thể: 5. Rất tốt; 4: Tốt hơn các thành viên trong nhóm; 3: Trung bình; 2: Không tốt 
bằng các thành viên trong nhóm; 1: Không giúp gì cho nhóm). 
Mục đánh giá 
Điểm đánh giá 
1 2 3 4 5 
1. Nhiệt tình trách nhiệm hoạt động học tập 
2. Tinh thần hợp tác, tôn trọng, lắng nghe trong 
nhóm 
3. Đưa ra ý kiến đóng góp có giá trị cho nhóm 
4. Góp phần trong việc hoàn thành sản phẩm 
5. Hiệu quả công việc đã tham gia 
PL43 
PHỤ LỤC 8: Fonction_exponentielle (2008) (Bản dịch) 
Truy cập ngày 01/12/2020, từ  
HÀM SỐ MŨ 
Hàm số mũ là một trong những ánh xạ quan trọng nhất trong giải tích, hoặc tổng 
quát hơn trong toán học và trong những lĩnh vực ứng dụng. Có nhiều định nghĩa tương 
đương về hàm số mũ: 
- một đồng cấu liên tục từ nhóm cộng R (hoặc C) vào nhóm nhân R* (tương ứng C*), 
- một nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, 
- một hàm giải tích một biến thực (hoặc phức) là tổng của một chuỗi lũy thừa. 
Ba định nghĩa trên cho phép mở rộng sang hình học Riemann, lý thuyết nhóm Lie và đại 
số Banach. 
Không đề cập đến các mở rộng này, các tính chất của hàm mũ cũng vô cùng phong phú. 
Các ứng dụng sơ cấp của nó liên quan đến phép giải phương trình vi phân, xây dựng lý 
thuyết Fourier, khảo sát các nhóm 
1. Tiếp cận phổ thông 
Nếu a là một số thực và n là một số nguyên, « a mũ n » bằng « a lũy thừa n » : 
expa (n) = an = 
n
anaa .... 
Ta có thể mở rộng định nghĩa này cho các số không nguyên. Ta chứng minh được rằng 
hàm số mũ là hàm ngược của hàm số lôgarit loga và các hàm lượng giác có thể biểu diễn 
một cách đơn giản bằng hàm mũ. Các hàm này có đạo hàm và nguyên hàm rất đơn giản và 
xuất hiện trong nhiều lời giải các phương trình vi phân. 
Tồn tại một cơ số a sao cho hàm mũ với cơ số này là hàm ngược của lôgarit Nepear ln. 
Với cơ số này, đạo hàm của hàm số mũ bằng chính nó (ex) = ex. 
2. Các định nghĩa 
2.1. Đồng cấu liên tục 
Một cách tự nhiên, ta tìm cách mô tả các đồng cấu liên tục f: R R* (hoặc f: C C*). 
Nói cách khác, ta đi tìm các ánh xạ liên tục f thỏa phương trình hàm: f(u + v) = f(u) + f(v) 
Một các cần thiết, f có đạo hàm và thỏa mãn phương trình vi phân: f’(x) = f’(0).f(x) 
Bằng cách đặt f’(0) = 1, ta xác định được f sai khác một hằng số nhân. Phương trình hàm 
suy ra f(0) = 1 nên f xác định một cách duy nhất. 
2.2. Phương trình vi phân 
Định nghĩa thứ hai tương đương với định nghĩa trước, là ánh xạ có đạo hàm duy nhất f: R 
 R* thỏa mãn phương trình vi phân: f’(x) = x với f(0) = 1. 
PL44 
Định nghĩa này được tổng quát hóa đối với nhóm Lie. 
2.3. Chuỗi 
Cuối cùng, bằng cách áp dụng phương pháp tìm nghiệm giải tích của phương trình vi phân 
tuyến tính, ta có thể định nghĩa hàm số mũ exp hoặc xex như là tổng của một chuỗi 
lũy thừa có bán kính hội tụ vô hạn: exp(x) = 
 0 !n
n
n
x
3. Các ứng dụng 
3.1. Trong lượng giác 
Hàm số mũ được ứng dụng nhiều trong lượng giác. Công thức Euler exp(iz) = cos(z) + 
isin(z) cho ta định nghĩa bất chấp x thực hoặc phức: 
cosx = 
2
ixix ee 
 sinx = 
i
ee ixix
2
Các công thức này cho phép tìm lạI phần lớn các công thức lượng giác, đặc biệt: 
cos(a + b) = cosa cosb – sinasinb sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa 
Hàm số mũ cũng là một công cụ đơn giản để tuyến tính hóa các hàm lượng giác: 
cosnx = 
n
ixix ee
2
 sinnx = 
n
ixix
i
ee
2
Hàm số mũ cũng được sử dụng để chứng minh công thức Moivre. 
3.2. Hàm lượng giác hypebolic 
Từ hàm mũ, ta có thể định nghĩa các hàm lượng giác hypebolic ch và sh thường được sử 
dụng trong phương trình vi phân cấp hai. 
3.3. Lý thuyết Fourier 
Tầm quan trọng chủ yếu của hàm mũ trong khoa học xuất phát từ tính chất: (λeax)' = aλeax 
hoặc chính xác hơn: ta có khi và chỉ khi và . 
Nếu một đại lượng tăng hoặc giảm theo thời gian và vận tốc “tăng” tỷ lệ với “kích thước” 
mẫu như trong trường hợp biến thiên dân số, lãi suất kép hoặc độ giảm phóng xạ, đạI 
lượng này có thể biểu diễn bằng một hàm mũ theo thờI gian nhân vớI một hằng số. 
Hàm mũ cơ số e là nghiệm của phương trình vi phân sơ cấp y' = y mà ta thường gặp. Đặc 
biệt, các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có thể viết thông qua hàm mũ. Ta 
cũng thấy sự can thiệp của hàm mũ trong phương trình vi phân Schrödinger, phương trình 
vi phân Laplace hoặc trong phương trình vi phân của chuyển động điều hòa đơn.