Luận án Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 
Lê Thanh Hải 
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ 
ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 9520101 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
Hà Nội - Năm 2021 
L
Ê
 T
H
A
N
H
 H
Ả
I *
 L
U
Ậ
N
 Á
N
 T
IẾ
N
 S
Ĩ *
 C
H
U
Y
Ê
N
 N
G
À
N
H
: C
Ơ
 K
Ỹ
 T
H
U
Ậ
T
 *
 M
Ã
 S
Ố
 9
5
2
0
1
0
1
 *
 N
Ă
M
 2
0
2
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 
Lê Thanh Hải 
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ 
ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 9520101 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 
 1. GS. TS. Trần Minh Tú 
 2. GS. TS. Lê Xuân Huỳnh 
Hà Nội - Năm 2021 
i 
LỜI CAM ĐOAN 
Tên tôi là: Lê Thanh Hải 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và 
kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và không trùng lặp 
với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành. 
 Hà Nội, ngàythángnăm 2022 
Người cam đoan 
Lê Thanh Hải 
ii 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy giáo hướng dẫn 
là GS. TS. Trần Minh Tú và GS. TS. Lê Xuân Huỳnh đã tận tình hướng dẫn, giúp 
đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. 
Tác giả chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô - Bộ môn Sức bền Vật liệu - 
Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã luôn quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp 
đỡ trong suốt thời gian nghiên cứu tại Bộ môn. 
Tác giả xin cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, cán bộ Khoa Đào tạo Sau đại 
học, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ trong 
suốt quá trình thực hiện luận án. 
Tác giả trân trọng cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn 
đồng nghiệp trong Seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã đóng góp nhiều ý kiến quý 
báu và có giá trị cho nội dung đề tài luận án. 
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp Khoa Xây 
dựng, Trường Đại học Vinh đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác 
giả có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy trong nhà trường, học tập và nghiên 
cứu hoàn thành luận án. 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã tận tình giúp 
đỡ và động viên trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu làm luận án. 
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia 
đình đã luôn tạo điều kiện, chia sẻ những khó khăn trong suốt quá trình học tập, 
nghiên cứu và hoàn thành luận án. 
Tác giả: Lê Thanh Hải 
iii 
MỤC LỤC 
Nội dung Trang 
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i 
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii 
MỤC LỤC ........................................................................................................... iii 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................ vi 
DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................... viii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ..................................................................... x 
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................... 6 
1.1. Tổng quan về vật liệu FGM rỗng ......................................................................... 6 
1.2. Các loại vật liệu FGM rỗng .................................................................................. 7 
1.3. Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng ............................................................... 8 
1.3.1. Luyện bột kim loại (Powder Metallurgy) .......................................................... 9 
1.3.2. Nung kết sợi (Fiber Sintering) .......................................................................... 9 
1.3.3. Nung chảy kim loại ............................................................................................ 9 
1.3.4. Phun khí vào kim loại ...................................................................................... 10 
1.3.5. Đúc thẩm thấu ................................................................................................. 10 
1.4. Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng ................................................. 10 
1.5. Ứng dụng của vật liệu GFM rỗng ...................................................................... 13 
1.6. Tổng quan các nghiên cứu về kết cấu tấm bằng vật liệu FGM và FGM rỗng .......... 15 
1.6.1. Các nghiên cứu về phân tích phi tuyến ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM .... 15 
1.6.2. Các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm FGM ................. 17 
1.6.3. Các nghiên cứu về vật liệu FGM rỗng ............................................................ 19 
iv 
1.7. Tóm tắt chương 1 ............................................................................................... 21 
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU FGM RỖNG 
CÓ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC.................................................... 22 
2.1. Mở đầu ............................................................................................................... 22 
2.2. Mô hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng ............................................................... 22 
2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ....................................................................... 24 
2.3.1. Trường chuyển vị ............................................................................................ 25 
2.3.2. Trường biến dạng ............................................................................................ 26 
2.3.3. Trường ứng suất .............................................................................................. 27 
2.3.4. Trường nội lực................................................................................................. 28 
2.3.5. Mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị ............................................................. 29 
2.3.6. Hệ phương trình cân bằng .............................................................................. 30 
2.3.7. Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị ...................................................... 32 
2.4. Lý thuyết tấm cổ điển ......................................................................................... 34 
2.5. Tóm tắt chương 2 ............................................................................................... 36 
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT 
LIỆU FGM RỖNG .................................................................................................... 37 
3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 37 
3.2. Lời giải theo tiếp cận chuyển vị ......................................................................... 37 
3.2.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ............................................................ 37 
3.2.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển .............................................................................. 43 
3.3. Lời giải theo tiếp cận ứng suất ........................................................................... 46 
3.3.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ............................................................ 46 
3.3.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển .............................................................................. 55 
3.4. Kết quả số và thảo luận ...................................................................................... 59 
3.4.1. Ví dụ kiểm chứng ............................................................................................. 60 
v 
3.4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện 
biên, nền đàn hồi và tham số hình học ...................................................................... 64 
3.5. Tóm tắt chương 3 ............................................................................................... 79 
CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG 
VẬT LIỆU FGM RỖNG .......................................................................................... 81 
4.1. Mở đầu ............................................................................................................... 81 
4.2. Khái niệm ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh ................................................... 81 
4.2.1. Khái niệm ổn định và mất ổn định, phân loại ................................................. 81 
4.2.2. Các tiêu chuẩn ổn định tĩnh ............................................................................ 84 
4.3. Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất .................................... 85 
4.4. Phân tích ổn định theo lý thuyết tấm cổ điển ..................................................... 96 
4.5. Kết quả số và thảo luận .................................................................................... 101 
4.5.1. Ví dụ kiểm chứng ........................................................................................... 101 
4.5.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, điều kiện biên, nền đàn hồi, 
dạng tải trọng, tham số hình học và độ không hoàn hảo ban đầu .......................... 105 
4.6. Tóm tắt chương 4 ............................................................................................. 115 
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 117 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ........................ 119 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 121 
PHỤ LỤC ........................................................................................................ PL1 
vi 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
Danh mục các ký hiệu 
Ký hiệu Nội dung ký hiệu 
,a b Kích thước các cạnh của tấm chữ nhật 
h Chiều dày của tấm chữ nhật 
E Mô đun đàn hồi khi kéo/nén của vật liệu 
G Mô đun đàn hồi trượt của vật liệu 
0e Hệ số mật độ lỗ rỗng 
 Hệ số Poisson của vật liệu 
wK Hệ số độ cứng uốn của nền đàn hồi 
, sx syK K Các hệ số độ cứng cắt của nền đàn hồi 
, tb thz z 
Toạ độ của điểm khảo sát theo phương chiều dày tấm tính từ mặt 
trung bình và mặt trung hoà 
C Khoảng cách giữa mặt trung hoà và mặt trung bình 
, ,u v w Chuyển vị theo các phương x, y, zth 
0 0 0, ,u v w Chuyển vị của điểm trên mặt trung hòa theo các phương x, y, zth 
,x y  Góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x 
q Tải trọng phân bố tác dụng lên mặt trên của tấm theo phương zth 
, ,
thx y z
   Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x, y, zth 
, ,
th thxy xz yz
   Biến dạng góc trong các mặt phẳng xy, xzth, yzth 
 0 Các thành phần biến dạng m ... ly graded plates using the element-free kp-Ritz method. Journal of 
sound and Vibration, 319(3): pp. 918-939. 
[137] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M. (2009). Mechanical and thermal buckling 
analysis of functionally graded plates. Composite Structures, 90(2): pp. 161-
171. 
PL1 
PHỤ LỤC 
Phụ lục 1: Các hàm số trong hệ phương trình (3.11) 
(11) '' ''
11 1 2 66 1 2( , ) ;mn m n m nl x y A U U A U U 
 (12) ' '12 66 1 2( , ) ;mn m nl x y A A V V 
 (13) ' '' ' ' ' ' '' ' ' '11 12 66( , ) ;mnpq m n p q m n p q m n p q m n p qh x y A X Y X Y A X Y X Y A X Y X Y X Y X Y 
 (21) ' '12 66 1 2( , ) ;mn m nl x y A A U U 
(22) '' ''
11 1 2 66 1 2( , ) ;mn m n m nl x y A V V A V V 
 (23) ' '' ' ' ' ' ' ' ' ''11 12 66( , ) ;mnpq m n p q m n p q m n p q m n p qh x y A X Y X Y A X Y X Y A X Y X Y X Y X Y 
(33) '' '' '' ''
44 44( , ) ;
s s
mn m n m n w m n sx m n sy m nl x y A X Y A X Y K X Y K X Y K X Y 
(34) ''
44( , ) ;
s
mn m nl x y A X Y 
(35) ''
44( , ) ;
s
mn m nl x y A X Y 
(31) ' '' ' '' ' ' '
11 1 2 12 1 2 66 1 2( , ) 2 ;mnpq m n p q m n p q m n p qh x y A U U X Y A U U X Y A U U X Y 
(32) ' '' ' '' ' ' '
12 1 2 11 1 2 66 1 2( , ) 2 ;mnpq m n p q m n p q m n p qh x y A V V X Y A V V X Y A V V X Y 
(33) ' ' '' ' ' ''
11 12
' ' '' ' ' '' ' ' ' '
12 11 66
1 1
( , )
2 2
1 1
2 ;
2 2
mnpqrs m n p q r s m n p q r s
m n p q r s m n p q r s m n p q r s
g x y A X Y X Y X Y A X Y X Y X Y
A X Y X Y X Y A X Y X Y X Y A X Y X Y X Y
(43) '
55( , ) ;
s
mn m nl x y A X Y 
(44) ''' ' ' ''
11 55 66( , ) ;mn m n m n m nl x y C X Y A X Y C X Y 
 (45) ' ''12 66( , ) ;mn m nl x y C C X Y 
(53) '
44( , ) ;
s
mn m nl x y A X Y 
 (54) '' '12 66( , ) ;mn m nl x y C C X Y 
(55) '' ' ''' '
66 22 44( , ) ;
s
mn m n m n m nl x y C X Y C X Y A X Y 
PL2 
Phụ lục 2: Các hệ số trong công thức (3.12) 
  
  
(11) (12) (13) (11) (12) (13)
1 2
0 0
(21) (22) (23) (21) (22) (23)
1 2
0 0
(33) (34) (35) (31) (32
, , , , ;
, , , , ;
, , , ,
a b
mnij mnij mnpqij mn mn mnpq i j
a b
mnij mnij mnpqij mn mn mnpq i j
mnij mnij mnij mnpqij mnpqij
L L H l l h U U dxdy
L L H l l h V V dxdy
L L L H H
 
 
  
) (33)
(33) (34) (35) (31) (32) (33)
0 0
(43) (44) (45) (11) (12) (13) (43) (44) (45) '
0 0
(53) (54)
,
, , , , , ;
, , , , , , , ;
,
mnpqrsij
a b
mn mn mn mnpq mnpq mnpqrs i j
a b
mnij mnij mnij mn mn mnpq mn mn mn i j
mnij mnij
G
l l l h h g X Y dxdy
L L L l l h l l l X Y dxdy
L L
  (55) (11) (12) (13) (53) (54) (55) '
0 0
0 0
, , , , , , ;
;
a b
mnij mn mn mnpq mn mn mn i j
a b
ij i j
L l l h l l l X Y dxdy
F qX Y dxdy
Phụ lục 3: Hàm số (33) ( , )mnl x y trong công thức (3.18) 
 (33) '''' '' '' '''' '' ''11( , ) 2 ;mn m n m n m n w m n sx m n sy m nl x y C X Y X Y X Y K X Y K X Y K X Y 
Phụ lục 4: Các hệ số (1) (2),pqrs pqrsK K trong công thức (3.43) 
Điều kiện biên SSSS: 
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2(1)
2 2
4 2
11
12
cos cos
cos cos
cos cos1
cos cos
cos cos sin sin
2
sin sin cos co
2
pqrs
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bbK
ab
q s p r x q s y
K
a bb
A p r p x r x q y s y
a a a a b b
A q s p x r x q y
b b a a b
0 0
;
s
b a
dxdy
s y
b
 
 
 
PL3 
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2(2)
2 2
4 2
12
11
cos cos
cos cos
cos cos1
cos cos
cos cos sin sin
2
sin sin cos co
2
pqrs
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a baK
ab
p r p r x q s y
K
a ba
A p r p x r x q y s y
a a a a b b
A q s p x r x q y
b b a a b
0 0
;
s
b a
dxdy
s y
b
 
 
 
Điều kiện biên SCSC: 
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 2
(1) 4 2
2 2
5 2
2 2
6 2
11
4 2
cos cos
4 2
cos cos
4 2
cos cos
4 2
1 cos cos
4 2
cos cos
4 2
cos cos
2
pqrs
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
K a bb
ab
p r xs s y
K
a bb
p r xs s y
K
a bb
A p r
a a
0 0
2 2
12
;
cos cos sin sin
2 2
sin sin sin sin
2
b a
dxdy
p x r x q y s y
a a b b
A q s p x r x q y s y
b b a a b b
 
 
 
PL4 
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 2
4 2(2)
2 2
5 2
2 2
6 2
12
2
cos cos
2
cos cos
2
cos cos
2
cos cos1
2
cos cos
2
cos cos
co
2
pqrs
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a baK
ab
p r p r x s y
K
a ba
p r p r x s y
K
a ba
A p r
a a
0 0
2 2
11
;
s cos sin sin
2 2
sin sin sin sin
2
b a
dxdy
p x r x q y s y
a a b b
A q s p x r x q y s y
b b a a b b
 
 
 
PL5 
Điều kiện biên CCCC:
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 2
4 2
2 2
5 2
2 2
(1)
6 2
7
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 21 2
cos cos
4
pqrs
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
q s p r x q s y
K
a bb
s p x s y
K
a bb
q s q s yp x
K K
ab a bb
q
K
2 2
2
2 2
8 2
2 2
9 2
2 211
2 212
22
cos cos
24 2
cos cos
24 2
cos cos
2 2
sin sin sin sin
2
2 2
sin sin sin sin
2
s q s yp x
a bb
p r xs s y
K
a bb
p r xs s y
K
a bb
A p r p x r x q y s y
a a a a b b
A q s p x r x q y s y
b b a a b b
0 0
;
b a
dxdy



PL6 
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 2
4 2
2 2
5 2
2 2
(2)
6 2
2
7
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
21 4 2
cos cos
4
pqrs
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p r p r x q s y
K
a ba
p p x s y
K
a ba
q s yp p x
K K
ab a ba
p
K
2
2
2 2
8 2
2 2
9 2
2 212
2 211
22
cos cos
4 2 2
cos cos
4 2 2
cos cos
2 2
sin sin sin sin
2
2 2
sin sin sin sin
2
q s yp x
a ba
p r p r x s y
K
a ba
p r p r x s y
K
a ba
A p r p x r x q y s y
a a a a b b
A q s p x r x q y s y
b b a a b b
0 0
;
b a
dxdy


 
Phụ lục 5: Các hàm số (3)mnpqrsg trong phương trình (3.44) 
Điều kiện biên SSSS: 
(3) (3 ) (3 ) (3 ) ;a b cmnpqrs mnpqrs mnpqrs mnpqrsg g g g 
PL7 
(3 )
1a
2a
3a
4a
cos sin cos sin
cos sin cos sin
cos sin cos sin
cos sin cos sin ;
a
mnpqrsg
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
(3 )
1
2
3
4
2 sin cos sin cos
2 sin cos sin cos
2 sin cos sin cos
2 sin cos sin cos ;
b
mnpqrs
b
b
b
b
g
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
p r x q s ym x n y
H
a a b b
 (3 ) (1) 2 (2) 2 sin sin ;cmnpqrs pqrs m pqrs n
m x n y
g K K
a b
  
trong đó: 
2 22 2
1a 1 ;q s m p r nH K   
2 22 2
2a 2 ;q s m p r nH K   
2 22 2
3a 3 ;q s m p r nH K   
2 22 2
4a 4 ;q s m p r nH K   
 1 1 ;b p r q s m nH K    
 2 2 ;b p r q s m nH K    
 3 3 ;b p r q s m nH K    
 4 4 ;b p r q s m nH K    
PL8 
Điều kiện biên SCSC: 
(3) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) ;a b c dmnpqrs mnpqrs mnpqrs mnpqrs mnpqrsg g g g g 
(3 )
2 2 2 2
2
1 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
3 2 2
2 2 2 2
4 2 2
4 2
cos cos sin sin
4 2
cos cos sin sin
4 2
cos cos sin sin
4 2
cos cos
a
mnpqrsg
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a bb a
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a bb a
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a bb a
q s p r x qm
K
ab a
2
2 2 2 2
2
5 2 2
2 2 2 2
2
6 2 2
sin sin
4 2
cos cos sin sin
4 2
cos cos sin sin ;
s y m x n y
b a b
p r xs m s y m x n y
K
a b a bb a
p r xs m s y m x n y
K
a b a bb a
(3 )
1
2
3
4
4 2 2
cos cos cos sin
4 2 2
cos cos cos sin
4 2 2
cos cos cos sin
4
cos
b
mnpqrsg
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q s p rm n
K
a b a b
5
6
2 2
cos cos sin
4 2 2
cos cos cos sin
4 2 2
cos cos cos sin ;
x q s y m x n y
a b a b
p r p r xs m n s y m x n y
K
a b a b a b a b
p r p r xs m n s y m x n y
K
a b a b a b a b
PL9 
(3 )
2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
4 2 2
2 2
2 cos cos sin cos
2 2
2 cos cos sin cos
2 2
2 cos cos sin cos
2
2 cos cos
c
mnpqrsg
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a ba b
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a ba b
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a ba b
p r p r x qn
K
aa b
2 2 2 2
5 2 2
2 2 2 2
6 2 2
2
sin cos
2 2
2 cos cos sin cos
2 2
2 cos cos sin cos ;
s y m x n y
b a b
p r p r xn s y m x n y
K
a b a ba b
p r p r xn s y m x n y
K
a b a ba b
(3 ) (1) 2 2 (2) 2 2sin sin 2 sin cos .dmnpqrs pqrs m pqrs n
m x n y m x n y
g K K
a b a b
  
Điều kiện biên CCCC: 
(3) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) ;a b c dmnpqrs mnpqrs mnpqrs mnpqrs mnpqrsg g g g g 
PL10 
(3 )
2 22 2
2
1 2 2
2 22 2
2
2 2 2
2 22 2
2
3 2 2
2 22 2
4 2 2
2 2 2
8 cos cos cos sin
2 2 2
8 cos cos cos sin
2 2 2
8 cos cos cos sin
2
8 cos
a
mnpqrsg
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a ba b
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a ba b
q s p r x q s ym m x n y
K
a b a ba b
q s p rm
K
a b
2
2 2 2 2
2
5 2 2
2 22 2
2
6 2 2
2 22 2
2
7 2 2
2 2 2 2
8 2 2
2 2
cos cos sin
2 2 2
8 cos cos cos sin
22 2
8 cos cos cos sin
22 2
8 cos cos cos sin
2
8 cos
x q s y m x n y
a b a b
m s p x s y m x n y
K
a b a ba b
q s q s ym p x m x n y
K
a b a ba b
q s q s ym p x m x n y
K
a b a ba b
m s
K
a b
2
2 2 2 2
2
9 2 2
2 2
cos cos sin
2 2 2
8 cos cos cos sin ;
p r x s y m x n y
a b a b
p r xm s s y m x n y
K
a b a ba b
PL11 
(3 )
1
2
3
4
2 2 2 2
8 cos cos sin sin
2 2 2 2
8 cos cos sin sin
2 2 2 2
8 cos cos sin sin
8
b
mnpqrsg
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q s p r x q s ym n m x n y
K
a b a b a b a b
p r q sm n
K
a b a b
5
6
7
8
2 2 2 2
cos cos sin sin
2 2 2 2
8 cos cos sin sin
22 2 2
8 cos cos sin sin
22 2 2
8 cos cos sin sin
8
p r x q s y m x n y
a b a b
m n p s p x s y m x n y
K
a b a b a b a b
q s q s ym n p p x m x n y
K
a b a b a b a b
q s q s ym n p p x m x n y
K
a b a b a b a b
pm n
K
a b
9
2 2 2 2
cos cos sin sin
2 2 2 2
8 cos cos sin sin ;
r p r xs s y m x n y
a b a b a b
p r p r xm n s s y m x n y
K
a b a b a b a b
PL12 
(3 )
2 22 2
2
1 2 2
2 22 2
2
2 2 2
2 22 2
2
3 2 2
2 22 2
4 2 2
2 2 2
8 cos cos sin cos
2 2 2
8 cos cos sin cos
2 2 2
8 cos cos sin cos
2
8 cos
c
mnpqrsg
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a bb a
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a bb a
p r p r x q s yn m x n y
K
a b a bb a
p r p rn
K
b a
2
2 2 2 2
2
5 2 2
2 2 2 2
2
6 2 2
2 2 2 2
2
7 2 2
2 22 2
8 2 2
2 2
cos sin cos
2 2 2
8 cos cos sin cos
22 2
8 cos cos sin cos
22 2
8 cos cos sin cos
2
8 cos
x q s y m x n y
a b a b
n p p x s y m x n y
K
a b a bb a
q s yn p p x m x n y
K
a b a bb a
q s yn p p x m x n y
K
a b a bb a
p r pn
K
b a
2
2 22 2
2
9 2 2
2 2
cos sin cos
2 2 2
8 cos cos sin cos ;
r x s y m x n y
a b a b
p r p r xn s y m x n y
K
a b a bb a
(3 ) (1) 2 2 (2) 2 22 22 cos sin 2 sin cos .dmnpqrs pqrs m pqrs n
m x n y m x n y
g K K
a b a b
 