Luận án Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu kerr

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
LƯƠNG THỊ TÚ OANH 
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 
ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ 
TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ 
NGHỆ AN – 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
LƯƠNG THỊ TÚ OANH 
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 
ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ 
TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ 
Chuyên ngành: Quang học 
Mã số: 9440110 
Người hướng dẫn khoa học: 
 1. TS. Đoàn Quốc Khoa 
 2. PGS. TS. Chu Văn Lanh 
NGHỆ AN - 2021
 i 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận án này là công trình nghiên cứu 
của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn Quốc Khoa và PGS.TS. 
Chu Văn Lanh. Các kết quả trong luận án là trung thực và được công bố trên các 
tạp chí khoa học trong nước và quốc tế. 
Nghệ An, tháng 10 năm 2021 
 Tác giả luận án 
 Lương Thị Tú Oanh 
 ii 
LỜI CẢM ƠN 
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn 
Quốc Khoa và PGS.TS. Chu Văn Lanh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân 
thành nhất đến tập thể thầy giáo hướng dẫn - những người đã tận tình giúp tôi 
nâng cao kiến thức và tác phong làm việc bằng tất cả sự mẫu mực của người 
thầy và tinh thần trách nhiệm của người làm khoa học. 
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô giáo Trường Đại học Vinh về 
những ý kiến đóng góp khoa học bổ ích cho nội dung luận án, tạo điều kiện tốt 
nhất trong thời gian tôi học tập và thực hiện nghiên cứu. 
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm 
Nghệ An đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên 
cứu của tôi trong những năm qua. 
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn 
bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tôi hoàn thành bản luận án này. 
Xin trân trọng cảm ơn! 
Nghệ An, tháng 10 năm 2021 
Tác giả luận án 
Lương Thị Tú Oanh 
 iii 
MỤC LỤC 
Trang 
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i 
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii 
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN ..... v 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ............................................................................ vi 
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1 
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................... 5 
3. Nội dung nghiên cứu .................................................................................... 5 
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 6 
5. Bố cục luận án .............................................................................................. 6 
Chương 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 
VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN ............................................. 7 
1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser ............................................. 7 
1.1.1. Thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode ............................... 7 
1.1.2. Mô hình laser đơn mode với thăng giáng bơm................................. 10 
1.1.3. Laser đa mode và ánh sáng ngẫu nhiên ............................................ 11 
1.2. Lý thuyết nhiễu trắng .............................................................................. 12 
1.3. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều .................................................... 16 
1.3.1. Trạng thái n-photon .......................................................................... 16 
1.3.2. Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều ..................................................... 17 
1.3.3. Trạng thái đan rối ............................................................................. 20 
1.3.4. Các trạng thái Bell ............................................................................ 23 
1.3.5. Cách tính độ đan rối của một trạng thái lượng tử ............................. 24 
1.4. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến ............................................................. 27 
1.4.1. Môi trường phi tuyến kiểu Kerr........................................................ 27 
1.4.2. Kéo lượng tử phi tuyến dựa trên các dao động tử phi tuyến Kerr .... 31 
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 35 
 iv 
Chương 2. CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HÌNH THÀNH TRONG 
BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR ............................................................... 36 
2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính..................................................... 36 
2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính ................................ 36 
2.1.2. Sự tạo ra trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác 
tuyến tính ......................................................................................... 45 
2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến ...................................................... 49 
2.2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode ............. 49 
2.2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode .............. 61 
2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................... 76 
Chương 3. ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI SỰ HÌNH 
THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI CỰC ĐẠI TRONG BỘ NỐI PHI 
TUYẾN KIỂU KERR ....................................................................................... 77 
3.1. Trung bình của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu trắng ......... 77 
3.2. Các trạng thái có độ đan rối cực đại tạo ra trong bộ nối phi tuyến 
kiểu Kerr khi trường laser được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên ...... 78 
3.2.1. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái 
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm 
một mode ......................................................................................... 78 
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái 
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm 
hai mode ........................................................................................... 86 
3.2.3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái 
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm 
một mode ......................................................................................... 93 
3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................. 100 
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ ......... 105 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 106 
PHỤ LỤC 
 v 
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH 
DÙNG TRONG LUẬN ÁN 
Từ viết tắt Nghĩa 
EPR Tên các nhà vật lý Einstein - Podolsky - Rosen 
NQS Kéo lượng tử phi tuyến - Nonlinear quantum scissors 
 vi 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 
Ký hiệu Đơn vị Nghĩa 
 Không thứ nguyên Ma trận Pauli 
 J.s/rad Hằng số Planck rút gọn 
 rad/s Tần số góc 
0 8,85 10-12 F/m Độ điện thẩm của chân không 
0 1,26 10-6 H/m Độ từ thẩm của chân không 
P C/m2 Độ lớn véctơ phân cực điện (vĩ mô) 
(1) Không thứ nguyên Độ cảm điện tuyến tính 
(2) m/V Độ cảm điện phi tuyến bậc hai 
(3) m2/V2 Độ cảm điện phi tuyến bậc ba 
H J Hamiltonian toàn phần của hệ 
H0 J Hamiltonian tự do của hệ 
HI J Hamiltonian tương tác của hệ 
 a
extHˆ J Hamiltonian tương tác giữa mode a với trường ngoài 
 b
extHˆ J Hamiltonian tương tác giữa mode b với trường ngoài 
intHˆ J Hamiltonian liên kết giữa các mode 
 rad/s 
Tham số mô tả độ mạnh của trường liên kết 
giữa hai dao động tử 
α rad/s 
Tham số mô tả độ mạnh của liên kết giữa 
trường ngoài với mode a 
β rad/s 
Tham số mô tả độ mạnh của liên kết giữa 
trường ngoài với mode b 
0a rad/s Tham số liên quan đến thành phần nhiễu 
a rad/s Hệ số phi tuyến Kerr của mode a 
b rad/s Hệ số phi tuyến Kerr của mode b 
E ebit Entropy đan rối 
 - Ma trận mật độ 
 mnc t - Biên độ xác suất phức 
Tr - Vết của ma trận 
 vii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 
Hình 1.1: Giản đồ dẫn đến các mô hình ngẫu nhiên của laser ......................... 8 
Hình 1.2: Trạng thái lượng tử của qubit ứng với các điểm trên mặt cầu Bloch. ...... 21 
Hình 1.3: Mô hình chung của kéo lượng tử phi tuyến hai mode .................... 34 
Hình 2.1: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode. .......... 37 
Hình 2.2: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode. ...... 42 
Hình 2.3: Độ tin cậy của trạng thái cắt đối với bộ nối phi tuyến tương tác 
tuyến tính được bơm một mode (đường nét liền) và hai mode 
(đường chấm chấm) với hệ số phi tuyến 810 ba  rad/s, 
5105 rad/s và các mode ban đầu ở trạng thái chân không ................ 45 
Hình 2.4: Sự tiến triển của các entropy đan rối (đơn vị ebit) 00
1E và 
 01
1E cho bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một 
mode với  610 rad/s, 0  (đường nét liền) và hai mode 
với  610 rad/s (đường nét gạch) và  610 rad/s, 
6102  rad/s (đường gạch chấm). ............................................... 46 
Hình 2.5: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 00
11B và 
 00
21B đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một 
mode với  610 rad/s, 0  (đường nét liền) và hai mode với 
  610 rad/s (đường nét gạch) và  610 rad/s, 
6102  rad/s (đường gạch chấm). .......................................................... 47 
Hình 2.6: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 00
31B và 
 00
41B đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm 
một mode với  610 rad/s, 0  (đường nét liền) và hai 
mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và  610 
rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm). ..................................... 48 
Hình 2.7. Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 01
31B và 
 01
41B đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm 
một mode với  610 rad/s, 0  (đường nét liền) và hai 
mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và  610 
rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm). ..................................... 48 
 viii 
Hình 2.8: Độ tin cậy của trạng thái cắt trong bộ nối phi tuyến tương tác 
phi tuyến được bơm 1 mode. Trong trường hợp hệ số phi 
tuyến 7105,2 ba  rad/s, 
5105,1  rad/s. ........................... 53 
Hình 2.9: Các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái 
ba
20 (đường 
nét liền), 
ba
21 (đường nét gạch), và 
ba
02 (đường gạch 
chấm) với 4105  rad/s, 
bacut
t 20)0(  (
 02
 ... 
[111] K. Wódkiewicz (1979), Stochastic incoherences of optical Bloch 
equations, Phys. Rev. A 19, 1686. 
PL 1 
PHỤ LỤC 
1. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.6) và (3.7) 
Từ hệ bốn phương trình: 
)()( 10
*
00 tctc
dt
d
i , (P1) 
)()()( 11
*
10
*
01 tctctc
dt
d
i  , (P2) 
)()()( 000110 tctctc
dt
d
i  , (P3) 
)()( 0111 tctc
dt
d
i . (P4) 
Khi có nhiễu: 0 ( ),t   thay vào hệ bốn phương trình trên 
ta được: 
 * *00 0 10 10( ) ( )
d
i c t c t t c t
dt
  , (P5) 
 * * * *01 0 10 10 0 11 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t c t t c t
dt
   , (P6) 
 10 0 00 00 0 01 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t c t t c t
dt
   , (P7) 
 11 0 01 01( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t
dt
  . (P8) 
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P5) - (P8)) có 
dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: 
*
1 2 3( ) ( )
dQ
M t M t M Q
dt
  , (P9) 
trong đó V là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng 
có dạng 
PL 2 
00
01
10
11
c
c
Q
c
c
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
1
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
2
31 32 33 34
41 42 43 44
b b b b
b b b b
M
b b b b
b b b b
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
3
31 32 33 34
41 42 43 44
c c c c
c c c c
M
c c c c
c c c c
. 
Thay vào phương trình (P9), ta tìm được 
00
11 00 12 01 13 10 14 11
11 00 12 01 13 10 14 11
* * * *
11 00 12 01 13 10 14 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
.
Đồng nhất với (P5) ta thu được: 
*
11 12 13 0 14
11 12 13 14
11 12 13 14
0, 0, , 0
0, 0, 0, 0
0, 0, 1, 0
a a a a
b b b b
c c c c
01
21 00 22 01 23 10 24 11
21 00 22 01 23 10 24 11
* * * *
21 00 22 01 23 10 24 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
.
Đồng nhất với (P6) ta thu được: 
* *
21 22 23 0 24 0
21 22 23 24
21 22 23 24
0, 0, ,
0, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1
a a a a
b b b b
c c c c
10
31 00 32 01 33 10 34 11
31 00 32 01 33 10 34 11
* * * *
31 00 32 01 33 10 34 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P7) ta thu được: 
31 0 32 0 33 34
31 32 33 34
31 32 33 34
, , 0, 0
1, 1, 0, 0
0, 0, 0, 0
a a a a
b b b b
c c c c
PL 3 
11
41 00 42 01 43 10 44 11
41 00 42 01 43 10 44 11
* * * *
41 00 42 01 43 10 44 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P8) ta thu được:
41 42 0 43 44
41 42 43 44
41 42 43 44
0, , 0, 0
0, 1, 0, 0
0, 0, 0, 0
a a a a
b b b b
c c c c
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3 có dạng sau: 
*
0
* *
0 0
1
0 0
0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
M
, 2
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
0 1 0 0
M
, 3
0 0 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
M
 .
Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: 
 1 0 2 3, / 2
d
Q M a M M Q
dt
 ,
(P10) 
trong đó 
 2 3 2 3 3 2
1 1 0 0
1 2 0 0
,
0 0 2 1
0 0 1 1
M M M M M M
*
00 000
* *
01 010 0
0
10 100 0
11 110
1 1 0 00 0 0
1 2 0 00 0
/ 2
0 0 2 10 0
0 0 1 10 0 0
c c
c cd
a
c cdt
c c
  
  
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến: 
 *0 000 00 01 0 10( ) ( ) ( )
2 2
a ad
i c t c t c t c t
dt
 , 
* *0
01 00 0 01 0 10 0 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
ad
i c t c t a c t c t c t
dt
 , 
PL 4 
0
10 0 00 0 01 0 10 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
ad
i c t c t c t a c t c t
dt
 , 
0 0
11 0 01 10 11( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a ad
i c t c t c t c t
dt
 . 
PL 5 
2. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.14) và (3.15) 
Từ hệ bốn phương trình:
* *
00 10 01
* *
01 10 11 00
*
10 01 00 11
11 01 10
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
d
i c t c t c t
dt
d
i c t c t c t c t
dt
d
i c t c t c t c t
dt
d
i c t c t c t
dt
 
 
 
 
 (P11) 
Khi có nhiễu: 0 ( ),t   thay vào hệ phương trình trên ta 
được: 
 * * * *00 0 10 10 0 01 01( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t c t t c t
dt
   , (P12) 
 * * * *01 0 10 10 0 11 11 0 00 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
d
i c t c t t c t c t t c t c t t c t
dt
    (P13) 
 * *10 0 01 01 0 00 00 0 11 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t c t t c t c t t c t
dt
    , (P14) 
 11 0 01 01 0 10 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
i c t c t t c t c t t c t
dt
   . (P15) 
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P12) - (P15)) 
có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: 
*
1 2 3( ) ( )
dQ
i M t M t M Q
dt
  ,
 (P16) 
trong đó Q là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng, 
với dạng như sau: 
00
01
10
11
c
c
Q
c
c
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
1
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
2
31 32 33 34
41 42 43 44
b b b b
b b b b
M
b b b b
b b b b
, 
11 12 13 14
21 22 23 24
3
31 32 33 34
41 42 43 44
c c c c
c c c c
M
c c c c
c c c c
Thay vào phương trình (P16) 
PL 6 
00
11 00 12 01 13 10 14 11
11 00 12 01 13 10 14 11
* * * *
11 00 12 01 13 10 14 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P12): 
* *
11 12 0 13 0 14
11 12 13 14
11 12 13 14
0, , , 0
0, 0, 0, 0
0, 1, 1, 0
a a a a
b b b b
c c c c
01
21 00 22 01 23 10 24 11
21 00 22 01 23 10 24 11
* * * *
21 00 22 01 23 10 24 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P13): 
* *
21 0 22 23 0 24 0
21 22 23 24
21 22 23 24
, 0, ,
1, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1
a a a a
b b b b
c c c c
10
31 00 32 01 33 10 34 11
31 00 32 01 33 10 34 11
* * * *
31 00 32 01 33 10 34 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P14): 
*
31 0 32 0 33 34 0
31 32 33 34
31 32 33 34
, , 0,
1, 1, 0, 0
0, 0, 0, 1
a a a a
b b b b
c c c c
11
41 00 42 01 43 10 44 11
41 00 42 01 43 10 44 11
* * * *
41 00 42 01 43 10 44 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t t c c t
   
   
Đồng nhất với (P15): 
41 42 0 43 0 44
41 42 43 44
41 42 43 44
0, , , 0
0, 1, 1, 0
0, 0, 0, 0
a a a a
b b b b
c c c c
PL 7 
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3: 
00
0
0
00
00
*
000
*
0
*
00
*
0
*
0
1
M , 2
0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
M
, 3
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
M
. 
Từ lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: 
 1 0 2 3, / 2
d
Q M a M M Q
dt
 (P17) 
 2 3 2 3 3 2
2 1 0 0
1 3 2 0
,
0 2 3 1
0 0 1 2
M M M M M M
 (P18) 



11
10
01
00
0
00
*
000
*
0
*
00
*
0
*
0
11
10
01
00
2/
1100
1200
0021
0011
00
0
0
00
c
c
c
c
a
c
c
c
c
dt
d
i
 (P19) 
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến: 
* *0
00 0 00 0 01 0 10
* *0 0
01 0 00 01 0 0 10 0 11
*0 0
10 0 00 0 0 01 10 0 11
( ) ( ),
2
3
( ) ( ) ( ),
2 2
3
( ) ( ) ( ) ( ),
2 2
kl kl kl kl
kl kl kl kl kl
kl kl kl kl kl
ad
i c t a c t c t c t
dt
a ad
i c t c t c t a c t c t
dt
a ad
i c t c t a c t c t c t
dt
d
i c
dt
 0
11 0 01 0 10 0 11( ) ( ) ( ) ( ).
2
kl kl kl kla
t c t c t a c t 
3. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.22) và (3.23) 
Từ hệ ba phương trình:
20 02
12 02
* *
02 20 12
( ) 2 ( ),
( ) ( ),
( ) 2 ( ) ( ).
d
i c t c t
dt
d
i c t c t
dt
d
i c t c t c t
dt

 
 (P20) 
PL 8 
Khi có nhiễu: 0 ( ),t   thay vào hệ ba phương trình trên 
ta được: 
 20 0 02( ) 2 ( ),
d
i c t t c t
dt
  
(P21)
 12 0 02( ) ( ),
d
i c t t c t
dt
  (P22) 
 * * * *02 0 20 0 12( ) 2 ( ) ( ).
d
i c t t c t t c t
dt
   (P23) 
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P21) - (P23)) 
có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: 
 *1 2 3
dQ
M t M t M Q
dt
  , (P24)
trong đó Q là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng 
có dạng 
20
12
02
c
Q c
c
, 
11 12 13
1 21 22 23
31 32 33
a a a
M a a a
a a a
, 
11 12 13
2 21 22 23
31 32 33
b b b
M b b b
b b b
, 
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
c c c
M c c c
c c c
Thay vào phương trình (P24), ta được: 
20
11 20 12 12 13 02
11 20 12 12 13 02
* * *
11 20 12 12 13 02
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t
  
  
Đồng nhất với (P21), ta thu được 
11 12 13 0
11 12 13
11 12 13
0, 0, 2
0, 0, 2
0, 0, 0
a a a
b b b
c c c
12
21 20 22 12 23 02
21 20 22 12 23 02
* * *
21 20 22 12 23 02
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t
  
  
Đồng nhất với (P22), ta thu được 
PL 9 
21 22 23 0
21 22 23
21 22 23
0, 0,
0, 0, 1
0, 0, 0
a a a
b b b
c c c
02
31 20 32 12 33 02
31 20 32 12 33 02
* * *
31 20 32 12 33 02
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dc t
i a c t a c t a c t
dt
t b c t t b c t t b c t
t c c t t c c t t c c t
  
  
Đồng nhất với (P23), ta thu được 
* *
31 0 32 0 33
31 32 33
31 32 33
2 , , 0
0, 0, 0
2, 1, 0
a a a
b b b
c c c
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3: 
02
00
200
*
0
*
0
0
0
1
M , 
000
100
200
2M , 
012
000
000
3M . 
Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: 
 1 0 2 3, / 2
d
Q M a M M Q
dt
trong đó 
 2 3 2 3 3 2
4 2 0
, 2 1 0
0 0 5
M M M M M M
khi đó ta được: 
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến có 
dạng như sau: 
20 0 20
0
12 0 12
* *
02 020 0
0 0 2 4 2 0
0 0 2 1 0
2
0 0 52 0
c c
ad
i c c
dt
c c
  
  
 
PL 10 
20 0 20 0 12 0 02
0
12 0 20 12 0 02
* * 0
02 0 20 0 12 02
( ) 2 2 ( ),
( ) ( ),
2
5
( ) 2 ( ) ( ) ( ).
2
d
i c t a c t a c t c t
dt
ad
i c t a c t c t c t
dt
ad
i c t c t c t c t
dt