Luận án Dáng điệu tiệm cận và bài toán điều khiển đối với một số lớp phương trình Parabolic suy biến mạnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN TÚ
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN TÚ
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 9 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học 1 Người hướng dẫn khoa học 2
GS. TS Cung Thế Anh TS Trần Văn Bằng
Hà Nội, 2021
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của GS.TS Cung Thế Anh và TS Trần Văn Bằng. Các kết quả được viết trong
luận án là hoàn toàn mới và chưa từng được công bố trong bất kì một công
trình của ai khác.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Xuân Tú
i
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS Cung Thế Anh và
TS Trần Văn Bằng. Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa
học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa
học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn là động
lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô và các thành viên
của Seminar Giải tích, Khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2; Seminar Bộ môn
Giải tích, Khoa Toán - Tin, trường ĐHSP Hà Nội đã tạo một môi trường học tập
và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã
nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường khoa học sôi nổi và
thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận
án của tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Hùng Vương, các anh chị em đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa
Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người thân đã
luôn ở bên, động viên, chia sẻ để tác giả hoàn thành luận án này.
ii
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Cấu trúc của luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Các lớp toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. Toán tử ∆λ-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2. Toán tử suy biến mạnh Ps,γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Lí thuyết tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Lí thuyết điều khiển được của hệ parabolic tuyến tính. . . . . . . . . . . . 20
1.4.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2. Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
1.5. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦAMỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
SUY BIẾN MẠNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Tính compact tiệm cận của nửa nhóm {S(t)}t≥0 . . . . . . . . . . . . . 37
Chương 3. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦAMỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
SUY BIẾN MẠNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2. Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(RN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục trong S1(RN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
SUY BIẾN MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1. Đặt bài toán và phát biểu kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2. Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2
4.2.3. Bất đẳng thức Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Chứng minh kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1. Lược đồ chứng minh Định lí 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.2. Chứng minh tính điều khiển được trong Định lí 4.1 . . . . . . . . . 82
4.3.3. Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 4.1 . . 84
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN
RN không gian vectơ thực N chiều;
C∞0 (Ω) không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω;
|x | chuẩn Euclide của x trong không gian RN ;
〈·, ·〉 tích đối ngẫu giữa H và H∗;
(·, ·) tích vô hướng trong không gian Hilbert H;
+ hội tụ yếu;
+∗ hội tụ ∗-yếu;
→ hội tụ mạnh;
,→ phép nhúng liên tục;
,→,→ phép nhúng compact;
h.k.n hầu khắp nơi;
D2 ma trận Hessian;
∇ vectơ gradient;
1ω hàm đặc trưng của miền ω;
∆λ toán tử suy biến mạnh ∆λ :=
N∑
i=1
∂x i(λ
2
i ∂x i);
γ1 giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet
thuần nhất;
D(∆λ) miền xác định của toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet thuần
nhất;
◦
W 1,2
λ
(Ω) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong
Chương 2; ◦
W 1,2
λ
(Ω)

∗ không gian đỗi ngẫu của không gian ◦W 1,2
λ
(Ω);
S1(RN ) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong
Chương 3;
S−1(RN ) không gian đối ngẫu của không gian S1(RN );
S10(Ω) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong
Chương 3, Chương 4.
4
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Nhiều quá trình trong tự nhiên, khoa học, công nghệ và kĩ thuật dẫn đến
việc nghiên cứu các lớp phương trình parabolic, như các quá trình truyền nhiệt,
quá trình khuếch tán, các mô hình trong sinh thái học quần thể,. . . Vì vậy, việc
nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học
và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà khoa học trên thế giới. Một trong những hướng tiếp cận đó là nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì nó cho phép ta hiểu
và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể
có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Bên cạnh đó
việc nghiên cứu tính điều khiển được của các lớp phương trình parabolic cũng
có ý nghĩa rất quan trọng vì dưới tác động các lớp hàm điều khiển chấp nhận
được bài toán có thể điều khiển được về các vị trí mong muốn.
Trong những năm gần đây, sự tồn tại và các tính chất định tính của nghiệm,
nói riêng là dáng điệu tiệm cận và tính điều khiển được đã được nghiên cứu
cho nhiều lớp phương trình parabolic. Chẳng hạn, lớp phương trình parabolic
nửa tuyến tính trong trường hợp không suy biến hoặc suy biến yếu được nghiên
cứu bởi nhiều tác giả trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [18, 21,
22, 28, 55, 59, 60, 69]). Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút, lí thuyết
điều khiển đối với lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú
và khá hoàn thiện. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phương
trình parabolic suy biến mạnh chưa có nhiều. Khi xét trường hợp này do tính
suy biến mạnh của hệ đã làm xuất hiện những khó khăn lớn về mặt toán học.
Chẳng hạn, bài toán thiếu các định lí nhúng cần thiết, thiếu các kết quả cần
thiết về tính chính quy nghiệm, thiếu các kết quả về nguyên lí cực trị, thiếu các
ước lượng kiểu Carleman cần thiết,. . . Do đó bài toán đòi hỏi phải có những ý
tưởng tiếp cận mới. Các phương trình parabolic suy biến mạnh xuất hiện một
5
cách tự nhiên trong vật lí, hóa học, sinh học,... Hiện nay, việc nghiên cứu các
lớp phương trình parabolic suy biến mạnh về dáng điệu tiệm cận nghiệm và
bài toán điều khiển được đang là vấn đề mở, có nhiều ý nghĩa và thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số kết ... and continuity of global attractor
for a semilinear degenerate parabolic equation, Electron. J. Differ. Equ. 61,
1–13.
[5] C. T. Anh and V. M. Toi (2013), Null controllability of a parabolic equa-
tion involving the Grushin operator in some multi-dimensional domains,
Nonlinear Anal. 93, 181–196.
[6] C. T. Anh and V. M. Toi (2015), Null controllability for semilinear degener-
ate/singular parabolic equations, Fixed Point Theory. 16, 15–30.
[7] C. T. Anh and V. M. Toi (2016), Null controllability in large time of a
parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square
potential, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 23, no. 2, Art. 20,
26 pp.
[8] C. T. Anh and L. T. Tuyet (2013), On a semilinear strongly degenerate
parabolic equation in an unbounded domain, J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 20,
91–113.
[9] C. T. Anh and L. T. Tuyet (2013), Strong solutions to a strongly degenerate
semilinear parabolic equation, Vietnam J. Math. 41, 217–232.
94
[10] F. Boyer and P. Fabrie (2013), Mathematical Tools for the Study of the In-
compressible Navier-Stokes Equations and Related Models, Applied Mathe-
matical Sciences 183, Springer, New York.
[11] K. Beauchard (2013), Null controllability of degenerate parabolic equa-
tions of Grushin and Kolmogorov type, Séminaire Laurent Schwartz-
Équations aux dérivées partielles et applications. Année 2011-2012, Exp. No.
XXXIV, 24 pp., Sémin. Équ. Dériv. Partielles, École Polytech., Palaiseau.
[12] K. Beauchard (2014), Null controllability of Kolmogorov-type equations,
Mathematics of Control, Signals and Systems. 26, 145–176.
[13] K. Beauchard, P. Cannarsa and R. Guglielmi (2014), Null controllability
of Grushin-type operators in dimension two, J. Eur. Math. Soc. 16, 67–101.
[14] K. Beauchard, P. Cannarsa and M. Yamamoto (2014), Inverse source prob-
lem and null controllability for multidimensional parabolic operators of
Grushin type, Inverse Problems 30 (2), 025006, 26 pp.
[15] K. Beauchard, L. Miller and M. Morancey (2015), 2D Grushin-type equa-
tions: minimal time and null controllable data, J. Differential Equations
259, 5813–584.
[16] J.-M. Coron (2007), Control and Nonlinearity, AMS, Providence, RI.
[17] P. Cannarsa, G. Fragnelli and J. Vancostenoble (2006), Regional control-
lability of semilinear degenerate parabolic equations in bounded domains,
J. Math. Anal. Appl. 320, 804–818.
[18] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2008), Carleman estimates
for a class of degenerate parabolic operators, SIAM J. Control Optim. 47,
1–19.
[19] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2009), Carleman estimates
and null controllability for boundary-degenerate parabolic operators, C. R.
Math. Acad. Sci. Paris 347, 147–152.
95
[20] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2005), Null controllability
of degenerate heat equations, Adv. Differential Equations 10, 153–190.
[21] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2016), Global Carleman
Estimates for Degenerate Parabolic Operators with Applications, Memoirs
of AMS, 239,(1133), ix+209p.
[22] V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathe-
matical Physics, American Mathematical Society, Providence, RI, xii+363p.
[23] S. Dolecki and D. L.Russell (1977), A general theory of observation and
control, SIAM J. Control Optimization. 15, no. 2, 185-–220. MR 0451141
(56 #9428).
[24] A. Doubova, E. Fernández-Cara and E. Zuazua (2002), On the controlla-
bility of parabolic systems with a nonlinear term involving the state and
the gradient, SIAM J. Control Optim. 42, 798–819.
[25] B. Franchi and E. Lanconelli, Une métrique associée une classe
d’opérateurs elliptiques dégénérés, (French) [A metric associated with a
class of degenerate elliptic operators] Conference on linear partial and
pseudodifferential operators (Torino, 1982). Rend. Sem. Mat. Univ. Politec.
Torino 1983, Special Issue (1984), 105–114.
[26] C. Fabre, J. P. Puel and E. Zuazua (1995), Approximate controllability of
the semilinear heat equation, Proc. Royal Soc. Edinburgh 125A, 31–61.
[27] E. Fernández-Cara (1997), Null controllability of the semilinear heat
equation, ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 2, 87–103.
[28] E. Fernández-Cara and S. Guerrero (2006), Global Carleman inequalities
for parabolic systems and applications to controllability, SIAM J. Control
Optim. 45(4), 1399–1446
[29] E. Fernández-Cara and E. Zuazua (2000), Null and approximate con-
trollability for weakly blowing up semilinear heat equations, Ann. Inst. H.
Poincaré Anal. Non Linéaire. 17, 583–616.
96
[30] A. V. Fursikov and O. Yu. Imanuvilov (1996), Controllability of Evolution
Equations, Lecture Notes Series, Seoul. 34. Seoul: Seoul National Univ.,
163 p.
[31] P. G. Geredeli (2015), On the existence of regular global attractor for
p−Laplacian evolution equation, Appl. Math. Optim, 71, 517–532.
[32] P. G. Geredeli and A. Khanmamedov (2013), Long-time dynamics of the
parabolic p−Laplacian equation, Commun. Pure Appl. Anal, 12, 735–754.
[33] M. González-Burgos and L. de Teresa (2007), Some results on controlla-
bility for linear and nonlinear heat equations in unbounded domains, Adv.
Differential Equations 12, 1201–1240.
[34] V. V. Grushin, (1971), On a class of elliptic pseudo differential operators
degenerate on a submanifold, Math. USSR Sbornik. 13, 155–183. (in Rus-
sian)
[35] S. Guerrero (2012), An Introduction to the Theory of Control of Partial
Differential Equations, Lecture Notes.
[36] L. Ho¨rmander (1967), Hypoelliptic second order differential equations,
Acta Math. 119, 147–171.
[37] A. E. Kogoj and E. Lancenolli (2012), On semilinear∆λ-Laplace equation,
Nonlinear Anal. 75, 4637–4649.
[38] A. E. Kogoj and S. Sonner (2013), Attractors for a class of semi-linear
degenerate parabolic equations, J. Evol. Equ. 13, 675–691.
[39] A. E. Kogoj and S. Sonner (2014), Attractors met X -elliptic operators. J.
Math. Anal. Appl. 420, 407–434.
[40] A. E. Kogoj and S. Sonner (2015), Hardy type inequalities for ∆λ-
Laplacians. Complex Variables and Elliptic Equations. 61 (3), 422–442.
[41] A. Koenig (2017), Non-null-controllability of the Grushin operator in 2D,
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 355, 1215–1235.
97
[42] J. Le Rousseau and I. Moyano (2016), Null-controllability of the Kol-
mogorov equation in the whole phase space, J. Differential Equations. 260,
3193–3233.
[43] G. Lebeau and L. Robbiano (1995), Contrôle exact de l’équation de la
chaleur, Comm. P.D.E. 20, 335–356.
[44] D. Li and C. Sun (2016), Attractors for a class of semi-linear degenerate
parabolic equations with critical exponent. J. Evol. Equ. 16, 997–1015.
[45] J.-L. Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux
Limites Non Linéaires,Dunod, Paris.
[46] J.-L. Lions (1988), Exact controllability, stabilizability and perturbations
for distributed systems, SIAM Rev. 30, 1–68.
[47] J.-L. Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de
Systèmes D´istribues, Tome 1, Rech. Math. Appl. 8, Masson, Paris.
[48] J.-L. Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de
Systèmes D´istribues, Tome 2, Rech. Math. Appl. 9, Masson, Paris.
[49] L. H. Loomis and S. Sternberg (1990), Advanced Calculus, Paperback edi-
tion of the 1990 revised edition [MR1140004 (92i:00002)] of the 1968
original. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2014.
xii+580 pp. ISBN: 978-981-4583-93-0.
[50] D. T. Luyen and N.M. Tri (2016), Behavior at large time intervals of solu-
tions of degenerate hyperbolic equations with damping. (Russian) Sibirsk.
Mat. Zh. 57 (2016), 809-829; translation in Sib. Math. J. 57, 632–649.
[51] D. T. Luyen and N.M. Tri (2016), Global attractor of the Cauchy prob-
lem for a semilinear degenerate damped hyperbolic equation involving the
Grushin operator, Ann. Polon. Math. 117, 141–162.
[52] P. Martinez and J. Vancostenoble (2006), Carleman estimates for one-
dimensional degenerate heat equations, J. Evol. Equ. 6, 325–362.
98
[53] L. Miller (2005), On the null-controllability of the heat equation in un-
bounded domains, Bull. Sci. Math. 129, 175–185.
[54] M. Morancey (2015), Approximate controllability for a 2D Grushin equa-
tion with potential having an internal singularity, Ann. Inst. Fourier (Greno-
ble). 65, 1525–1556.
[55] J. P. Raymond and H. Zidani (1999), Hamiltonian Pontryagin’s principles
for control problems governed by semilinear parabolic equations, Appl.
Math. Optim. 39, 143-–177.
[56] M. Reed and B. Simon (1980), Methods of Modern Mathematical Physics.
I. Functional Analysis 2nd edn (New York: Academic).
[57] J. C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam-
bridge University Press, Cambridge.
[58] D. L. Russell (1978), Controllability and stabilizability theory for linear
partial differential equations: Recent progress and open questions, SIAM
Rev. 20, pp. 639–739.
[59] Z. Shao (2011), Existence and continuity of strong solutions of partly
dissipative reaction diffusion systems, Discrete Contin. Dyn. Systs., Supple-
ment, 1319–1328.
[60] R. Temam ( 1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics
and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin.
[61] M. X. Thao (2016), On the global attractor for a semilinear strongly de-
generate parabolic equation, Acta Math. Vietnam. 41, 283–297.
[62] N. T. C. Thuy and N. M. Tri (2002), Some existence and nonexistence
results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate op-
erators, Russ. J. Math. Phys. 9, 365–370.
[63] P. T. Thuy and N. M. Tri (2012), Nontrivial solutions to boundary value
problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations,
Nonlinear Differ. Equ. Appl. 19, 279–298.
99
[64] P. T. Thuy and N. M. Tri (2013), Long-time behavior of solutions to semi-
linear parabolic equations involving strongly degenerate elliptic differen-
tial operators, Nonlinear Differential Equations Appl. 20, 1213–1224.
[65] J. Vancostenoble (2011), Improved Hardy-Poincaré inequality and shap
Carleman estimates for degenerate/singular parabolic problems, Disc.
Cont. Dyna. Syst. Ser. S. 4 , 761–790.
[66] B. Wang (1999), Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded
domains, Physica D. 179, 41–52.
[67] C. Wang and R. Du (2013), Approximate controllability of a class of semi-
linear degenerate systems with convection term, J. Differential Equations
254, 3665–3689.
[68] L. Yan, B. Wu, S. Lu and Y. Wang (2020), Null controllability and inverse
source problem for stochastic Grushin equation with boundary degeneracy
and singularity, arXiv: 2001.01877.
[69] C. K. Zhong, M. H. Yang, C. Y. Sun (2006), The existence of global attrac-
tors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the
nonlinear reaction-diffusion equations, J. Differential Equations, 223 (2),
367–399.
[70] E. Zuazua (1997), Finite dimensional null controllability for the semilin-
ear heat equation, J. Math. Pures et Appl. 76, 570–594.
100