Luận án Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM 
TRẦN THANH DŨNG 
KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG HIỆU DỤNG 
 THEO CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ 
HỒ CHÍ MINH - 2021 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM 
TRẦN THANH DŨNG 
KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG HIỆU DỤNG 
 THEO CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ 
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán 
Mã số chuyên ngành: 9.44.01.03 
Khóa học: 2015 - 2019 
Người hướng dẫn khoa học: 
1. PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao 
2. GS.TSKH. Đào Vọng Đức 
HỒ CHÍ MINH - 2021 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng 
dẫn của PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao và GS.TSKH. Đào Vọng Đức. 
Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công 
bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác 
giả cho phép sử dụng . 
 Tp.HCM, ngày tháng năm 20 
 Tác giả luận án 
 Trần Thanh Dũng 
LỜI CẢM ƠN 
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy GS.TSKH. Đào Vọng Đức, PGS.TS. 
Nguyễn Mộng Giao đã tận tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình 
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. 
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong Trung tâm Đào 
tạo hạt nhân, Viện Năng lượng nguyên tử Việt Nam đã tạo điều kiện và 
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. 
Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các lãnh đạo và đồng nghiệp tại Trường 
đại học Thủ Dầu Một, Bình Dương và gia đình của tôi đã quan tâm và 
ủng hộ tôi trong suốt quá trình học NCS. 
Trần Thanh Dũng 
MỤC LỤC 
CÁC THUẬT NGỮ ANH – VIỆT ............................................................................ i 
DANH SÁCH HÌNH VẼ ......................................................................................... iii 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KHÔNG – THỜI GIAN VỚI CÁC CHIỀU PHỤ 
TRỘI TRONG LÝ THUYẾT DÂY .......................................................................... 5 
1.1. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây ......................................................... 5 
1.1.1. Dây boson .................................................................................................. 6 
1.1.1.1. Phương trình chuyển động của dây .............................................................................. 6 
1.1.1.2. Đại số dây .................................................................................................................................... 8 
1.1.2. Siêu dây ................................................................................................... 10 
1.1.2.1. Siêu tọa độ ................................................................................................................................. 10 
1.1.2.2. Đại số siêu dây ........................................................................................................................ 15 
1.2. Các chiều phụ trội trong lý thuyết dây .......................................................... 18 
1.2.1. Số chiều không – thời gian với dây boson .............................................. 18 
1.2.2. Số chiều không – thời gian với siêu dây ................................................. 19 
1.3. Phiếm hàm trường dây và trường tachyon .................................................... 20 
1.3.1. Phiếm hàm trường dây boson ............................................................................................ 20 
1.3.2. Phiếm hàm trường siêu dây ..................................................................... 23 
1.4. Phổ các trạng thái kích thích ......................................................................... 34 
1.4.1. Phổ khối lượng trong dây boson.............................................................. 34 
1.4.2. Phổ khối lượng trong siêu dây ................................................................. 39 
1.5. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 42 
CHƯƠNG II: CƠ CHẾ SINH KHỐI LƯỢNG ...................................................... 44 
2.1. Sự co gọn của các chiều phụ trội .................................................................. 44 
2.1.1. Co gọn theo vòng tròn ............................................................................. 44 
2.1.2. Co gọn theo hình xuyến D – 4 chiều ....................................................... 48 
2.1.3. Co gọn khái quát theo đường kín ............................................................ 48 
2.2. Điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội ................................................. 49 
2.3. Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không – thời gian đa chiều ..... 50 
2.3.1. Phép biến đổi Lorentz .............................................................................. 50 
2.3.2. Nguyên lý bất biến tương đối rộng .......................................................... 51 
2.3.3. Đạo hàm hiệp biến ................................................................................... 52 
2.4. Khối lượng các trường hiệu dụng ................................................................. 52 
2.4.1. Phương trình trường hiệu dụng ............................................................... 52 
2.4.2. Khối lượng của trường vô hướng hiệu dụng ........................................... 53 
2.4.3. Khối lượng của trường vector hiệu dụng ................................................ 55 
2.5. Hàm trường spinor trong không – thời gian đa chiều ................................... 57 
2.6. Phổ khối lượng của các trường spinor hợp nhất ........................................... 62 
2.7. Trường tachyon spinor .................................................................................. 64 
2.8. Qui luật tổng khối lượng ............................................................................... 64 
2.9. Biến dạng trường gauge với các vector boson có khối lượng ...................... 67 
2.9.1. Lý thuyết gauge ....................................................................................... 67 
2.9.2. Biến đổi gauge phi abel ........................................................................... 70 
2.9.3. Biến dạng bất biến gauge U(1) ................................................................ 73 
2.9.4. Biến dạng bất biến gauge phi abel ........................................................... 74 
2.9.5. Các hằng số liên kết biến đổi ................................................................... 76 
2.10. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 76 
CHƯƠNG III: ĐIỆN TÍCH TỪ CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI .................................... 78 
3.1. Đạo hàm 4 chiều của các trường ................................................................... 78 
3.2. Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng .............................. 79 
3.3. Khối lượng và điện tích của các trường spinor hợp nhất .............................. 82 
3.4. Quy luật tổng khối lượng - điện tích ............................................................. 83 
3.5. Quark tachyon và lepton tachyon.................................................................. 84 
3.5.1. Đa tuyến quark......................................................................................... 84 
3.5.2. Đa tuyến lepton ........................................................................................ 85 
3.6. Khả năng điện tích thay đổi theo không - thời gian ...................................... 86 
3.7. Kết luận chương 3 ......................................................................................... 86 
NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH CỦA LUẬN ÁN ...................................................... 88 
NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN ....................................................... 90 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ............................................... 91 
 i 
CÁC THUẬT NGỮ ANH – VIỆT 
STT Các thuật ngữ tiếng anh Các thuật ngữ tiếng Việt 
(Chữ viết tắt) 
1 Compactification Sự co gọn 
2 Compactification length Chiều dài co gọn 
3 Conventional field strength Cường độ trường thông thường 
4 Corresponding imvariant Lagran-
gian 
Lagrangian bất biến tương ứng 
5 Covariant quantization Lượng tử hóa hiệp biến 
6 Deformed gauge invariance Bất biến gauge biến dạng 
7 Deformed field strength Cường độ trường biến dạng 
8 Deformed Lorentz gauge condi-
tion 
Điều kiện gauge Lorentz biến dạng 
9 Distributive principle Nguyên lý phân bố 
10 Dual Resonance Model Mô hình cộng hưởng kép 
11 Effective field functions Các hàm trường hiệu dụng (trong 
không - thời gian 4 chiều) 
12 Extra-dimension Chiều phụ trội 
13 Gauge vector boson Boson vector gauge 
14 Gauge coupling constants Hằng số liên kết gauge 
15 Grand Unified theory. Lý thuyết Đại thống nhất (GUT) 
16 Large Hadron Collider LHC 
17 Light-cone quantization Lượng tử nón ánh sáng 
18 Modified gauge principle Nguyên lý gauge cải biến 
19 M theory (Mother hoặc Magic) Lý thuyết M 
20 Negative-norm state Trạng thái chuẩn âm 
21 New physical vector field Trường vector vật lý 
22 Neutral vector field Aμ(x) Trường vectơ trung tính 
23 Normal ordered product Tích normal 
24 Original field functions Các hàm trường khởi đầu (trong 
không - thời gian n chiều, n>4) 
 ii 
25 Ordinary field functions Các hàm trường thông thường 
(trong không - thời gian 4 chiều) 
26 Periodicity condition Điều kiện tuần hoàn 
27 Principle of minimal action Nguyên lý tác dụng tối thiểu 
28 Quantum chromodynamics Thuyết sắc động lực học lượng tử 
(QCD) 
29 Ramond–Neveu–Schwarz string Dây Ramond–Neveu–Schwarz 
(RNS) 
30 Space - like Tựa chiều không gian 
31 Space-time extra-dimensions Các chiều không - thời gian phụ trội 
32 Standard model Mô hình chuẩn (SM) 
33 Supersymmetric in spacetime siêu đối xứng trong không thời gian 
34 Super Virasoro algebra đại số siêu Virasoro 
35 Symmetry Algebra Đại số đối xứng 
36 Time - like Tựa chiều thời gian 
37 Theory of Everything Lý thuyết của mọi vật (TOE) 
38 Unified multiplet Đa tuyến hợp nhất 
39 Variable Coupling Constants Hằng số liên kết biến đổi 
40 World-sheet supersymmetry siêu đối xứng trên lá thế 
41 World sheet metric Metric trên lá thế 
 iii 
DANH SÁCH HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Dây mở và dây đóng 7 
Hình 1.2. Lá thế của dây đóng và dây mở 7 
Hình 2.1: Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co 
lại thành vòng tròn 
44 
Hình 2.2. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội co lại 
 thành một mặt cầu 
44 
Hình 2.3. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co 
lại thành một mặt hình xuyến 
45 
 1 
MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
Xây dựng lý thuyết Đại thống nhất (GUT) các tương tác cơ bản là hướng nghiên 
cứu có tính thời sự đặc biệt của Vật lý lý thuyết, trong đó lý thuyết siêu dây (Super-
string theory) là lĩnh vực nghiên được  ...  Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Unified spinor fields 
in space-time with Extradimensions, Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ 40, 2015. 
 92 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] S. Mukhi, String theory, a perspective over the last 25 years, Classical and 
Quantum Gravity, 2011, 28 (15), 153001. 
[2] E. Verlinde, Status of Super String Theory, From Quarks and Gluons to Quan-
tum Gravity: Proceedings of the International School of Subnuclear Physics, 
World Scientific, 2003, 40, 237. 
[3] C. Maroufi, The search for superstrings, symmetry, and the theory of every-
thing, Magill book reviews, 2000. 
[4] K.R. Dienes, String theory and the path to unification: A Review of recent de-
velopments, Physics Reports, 1997, 287 (6), 447-525. 
[5] M.B. Green, Unification of forces and particles in superstring theories, Nature, 
1985, 314 (6010), 409-414. 
[6] J.H. Schwarz, Status of superstring and M-theory, International Journal of 
Modern Physics A, 2010, 25 (25), 4703-4725. 
[7] M.J. Duff, M theory (The Theory formerly known as strings), International 
Journal of Modern Physics A, 1996, 11 (32), 5623-5641. 
[8] O. Klein, Quantum theory and 5-dimensional theory of relativity, Z. Phys., 
1926, 37, 895-906. 
[9] J.M. Overduin, P.S. Wesson, Kaluza-klein gravity, Physics Reports, 1997, 283 
(5-6), 303-378. 
[10] D. Bailin, A. Love, Kaluza-Klein theories, Reports on Progress in Physics, 
1987, 50 (9), 1087. 
[11] M.J. Duff, B.E. Nilsson, C.N. Pope, Kaluza-klein supergravity, Physics Re-
ports, 1986, 130 (1-2), 1-142. 
[12] E. Cremmer, B. Julia, J. Scherk, Supergravity theory in 11 dimensions. In Su-
pergravities in Diverse Dimensions: Commentary and Reprints (In 2 Volumes), 
1989, 139-142. 
 93 
[13] V.P. Nair, A. Shapere, A. Strominger, F. Wilczek, Compactification of the 
twisted heterotic string, Nuclear Physics B, 1987, 287, 402-418. 
[14] D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinec, R. Rohm, Heterotic string, Physical Re-
view Letters, 1985, 54 (6), 502. 
[15] C. Wetterich, Spontaneous compactification in higher dimensional grav-
ity, Physics Letters B, 1982, 113(5), 377-381. 
[16] Z. Horvath, L. Palla, E. Cremmer, J. Scherk, Grand unified schemes and spon-
taneous compactification, Nuclear Physics B, 1977, 127 (1), 57-65. 
[17] M.J. Duff, P.K. Townsend, P.V. Nieuwenhuizen, Spontaneous compactification 
of supergravity on the three-sphere, Physics Letters B, 1983, 122 (3-4), 232-
236. 
[18] T. Appelquist, A. Chodos, Quantum effects in Kaluza-Klein theories, Physical 
Review Letters, 1983, 50 (3), 141. 
[19] A. Sen, Tachyons in string theory, In From Fields to Strings: Circumnavigating 
Theoretical Physics, Ian Kogan Memorial Collection (In 3 Volumes), 2005, 
2035-2091. 
[20] V. Gorini, A. Kamenshchik, U. Moschella, V. Pasquier, Tachyons, scalar fields, 
and cosmology, Physical Review D, 2004, 69 (12), 123512. 
[21] J.L. Alonso, V. Azcoiti, A. Cruz, Origin of inertia at rest and the number of 
generations, Physical Review D, 1982, 26 (3), 691-697. 
[22] M. Harada, M. Tanabashi, K.Yamawaki, The Origin of Mass and Strong Cou-
pling Gauge Theories, Proceedings of the 2006 International Workshop, Japan, 
2006. 
[23] T. Appelquist, H.U. Yee, Universal extra dimensions and the Higgs boson 
mass, Physical Review D, 2003, 67 (5), 055002. 
[24] F. Wilczek, Origins of mass, Central European Journal of Physics, 2012, 10 
(5), 1021-1037. 
 94 
[25] G. Aad, et al., Observation of a new particle in the search for the Standard 
Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC, Physics Letters B, 
2012, 716 (1), 1-29. 
[26] CMS collaboration, A new boson with a mass of 125 GeV observed with the 
CMS experiment at the Large Hadron Collider, Science, 2012, 338 (6114), 
1569-1575. 
[27] P.W. Higgs, Broken symmetries and the masses of gauge bosons, Physical Re-
view Letters, 1964, 13 (16), 508. 
[28] P.W. Higgs, Spontaneous symmetry breakdown without massless bos-
ons. Physical Review, 1966, 145 (4), 1156. 
[29] S. De Bianchi, C. Kiefer, One Hundred Years of Gauge Theory: Past, Present 
and Future Perspectives, Springer Nature, 2020, 199. 
[30] S. Weinberg, Effective gauge theories, Physics Letters B, 1980, 91 (1), 51-55. 
[31] L. Hall, Grand unification of effective gauge theories, Nuclear Physics B, 
1981, 178 (1), 75-124. 
[32] M. Yoshimura, Unified gauge theories and the baryon number of the uni-
verse. Physical Review Letters, 1978, 41 (5), 281. 
[33] T.W.B. Kibble, Spontaneous symmetry breaking in gauge theories Philosophi-
cal Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineer-
ing Sciences, 2015, 373 (2032), 20140033. 
[34] G.S. Guralnik, C.R. Hagen, T.W. Kibble, Global conservation laws and mass-
less particles, Physical Review Letters, 1964, 13 (20), 585. 
[35] J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg, Broken symmetries, Physical Re-
view, 1962, 127 (3), 965. 
[36] G.S. Guralnik, C.R. Hagen, T.W. Kibble, Broken symmetries and the Goldstone 
theorem, Advances in particle physics, 1968, 2, 567-708. 
 95 
[37] S.M. Boucenna, et al., Non-abelian gauge extensions for B-decay anoma-
lies, Physics Letters B, 2016, 760, 214-219. 
[38] H. Hatanaka, T. Inami, C.S. Lim, The Gauge Hierarchy Problem and Higher-
Dimensional Gauge Theories, Modern Physics Letters A, 1998, 13 (32), 2601-
2611. 
[39] S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton, Topologically massive gauge theories, An-
nals of Physics, 2000, 281(1-2), 409-449. 
[40] C.T. Hill, Topcolor: Top quark condensation in a gauge extension of the stand-
ard model, Physics Letters B, 1991, 266 (3-4), 419-424. 
[41] D.V. Duc, A new gauge mechanism for massive gauge bosons, Communica-
tions in Physics, 2011, 21 (4), 289 -293. 
[42] D. V. Duc, N.M. Giao, Space – Time Dependence of Fine Structure Constant 
in Deformed Gauge Invariance, US Open Advanced Physics Journal, 2014, 1, 
1. 
[43] J. Uzan, The fundamental constants and their variation: observational and the-
oretical status, Reviews of modern physics, 2003, 75 (2), 403. 
[44] Y. Fujii, Oklo Constraint on the Time-Variabilityof the Fine-Structure Con-
stant, Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants, Springer, Berlin, Hei-
delberg, 2004, 167-185. 
[45] S.K. Lamoreaux, J.R. Torgerson, Neutron moderation in the Oklo natural reac-
tor and the time variation of α, Physical review D, 2004, 69 (12), 121701. 
[46] D.V. Duc, N.M. Giao, Vector Boson Mass Spectrum from Extradimensions, 
Journal of Modern Physics, 2013, 4 (7), 991-993; D.V.Duc, N.M.Giao, Mass 
Creation from Extra Dimensions, arXiv:1301.1405, 2013. 
[47] D.V. Duc, N.M. Giao, Mass creation from extra dimensions, Journal of Modern 
Physics, 2014, 5 (6). 
 96 
[48] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Time-like Extradimensions as the Origin of 
Tachyons, Journal of Physical Science and Application, 2014, 60-63. 
[49] D.V. Duc, N.M. Giao, A Mechanism for Charge Creation from Extra Dimen-
sions, International Journal of Theoretical Physics, 2015, 55 (2), 959-964. 
[50] G. Veneziano, Construction of a crossing-simmetric, Regge-behaved amplitude 
for linearly rising trajectories, Il Nuovo Cimento A, 1968, 57 (1), 190-197. 
[51] R.C. Brower, Spectrum-generating algebra and no-ghost theorem for the dual 
model, Physical Review D, 1972, 6 (6), 1655. 
[52] L. Susskind, Structure of hadrons implied by duality, Physical Review D, 1970, 
1 (4), 1182. 
[53] Y. Nambu, Quark model and the factorization of the Veneziano amplitude, In 
Proceedings of the International Conference on Symmetries and Quark Mod-
els, 1969. 
[54] H. Nielsen, An almost physical interpretation of the integrand of the n-point 
Veneziano integrand, In the 15th International Conference on High Energy 
Physics (Kiev), 1970. 
[55] J. Scherk, J.H. Schwarz, Dual models for non-hadrons, Nuclear Physics 
B, 1974, 81 (1), 118-144. 
[56] A. Bilal, J.L. Gervais, New critical dimensions for string theories, Nuclear 
Physics B, 1987, 284, 397-422. 
[57] C. Lovelace, Pomeron form factors and dual Regge cuts, Physics Letters 
B, 1971, 34 (6), 500-506. 
[58] L. Brink, H.B. Nielsen, A simple physical interpretation of the critical dimen-
sion of space-time in dual models, Physics Letters B, 1973, 45 (4), 332-336. 
[59] P. Ramond, Dual theory for free fermions, Physical Review D, 1971, 3 (10), 
2415. 
 97 
[60] A. Neveu, J.H. Schwarz, Factorizable dual model of pions, Nuclear Physics 
B, 1971, 31 (1), 86-112. 
[61] A. Neveu, J.H. Schwarz, Quark model of dual pions, Physical Review D, 
1971, 4 (4), 1109. 
[62] C.B. Thorn, Embryonic dual model for pions and fermions, Physical Review D, 
1971, 4 (4), 1112. 
[63] J.L. Gervais, B. Sakita, Field theory interpretation of supergauges in dual mod-
els, Nuclear Physics B, 1971, 34 (2), 632-639. 
[64] F. Gliozzi, J. Scherk, D. Olive, Supergravity and the spinor dual model, Physics 
Letters B, 1976, 65(3), 282-286. 
[65] M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetrical dual string theory, Nuclear Phys-
ics B, 1981, 181 (3), 502-530; M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetric dual 
string theory: (II). Vertices and trees, Nuclear Physics B, 1982, 198(2), 252-
268; M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetrical string theories, Physics Let-
ters B, 1982, 109 (6), 444-448. 
[66] M. Kaku, Introduction to superstrings and M-theory, Springer Science & Busi-
ness Media, 2012. 
[67] Đào Vọng Đức, Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, 2007. 
[68] Bailin, David, L. Alexander, Supersymmetric gauge field theory and string the-
ory, CRC Press, 1994. 
[69] K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz, P. Ramond, String theory and M-theory: 
A modern introduction, Cambridge University Press, 2006. 
[70] J. Polchinski, String theory: Volume 1 – An introduction to the bosonic string, 
Cambridge University Press, 1998. 
[71] L. Brink, M. Henneaux, Principles of string theory, Springer Science & Busi-
ness Media, 2013. 
 98 
[72] D. McMahon, String theory demystified: A self-teaching guide, McGraw-Hill, 
2009. 
[73] K. Wray, An Introduction to String Theory, Berkeley University, 2011. 
[74] J.H. Schwarz, Introduction to superstring theory, Techniques and Concepts of 
High-Energy Physics, Springer, Dordrecht, 2001, 143-187 
[75] B. Greene, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions and the 
Quest for the Ultimate Theory, Vintage Books, 2000. 
[76] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, Lý thuyết tương đối rộng với không – thời gian 
đa chiều, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2015. 
[77] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Mass spectrum of Spinor fields in Extradi-
mension, International journal of theoretical physics, 2015, 54, 1071-1076. 
[78] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Charge–mass sum rules for unified spinor 
fields in extradimensions and the prediction for the existence of tachyon quarks 
and tachyon leptons, Modern Physics Letters A, 2019, 34 (17), 1950130. 
[79] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Deformed Gauge Invariance with Massive 
Gauge Vector Bosons, Journal of Modern Physics, 2017, 8, 82-86.