Luận án Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm Sandwich FGM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
 Lê Thị Ngọc Ánh 
MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 
TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ 
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
TP Hồ Chí Minh – 2021 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Lê Thị Ngọc Ánh 
MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 
TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
 Mã sỗ: 9 52 01 01 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ 
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên 
 2. PGS. TS. Trần Văn Lăng 
TP Hồ Chí Minh – 2021 
iv
2.5. Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1. Trường chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.2. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.4. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6. Lý thuyết tựa 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1. Trường chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.4. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8. Tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9. Phương trình vi phân chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương 3. Mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Phần tử dầm FBKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1. Chuyển vị nút và hàm nội suy Kosmatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Phần tử dầm TBSH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1. Chuyển vị nút và nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Phần tử dầm TBSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1. Hàm nội suy Lagrange và Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2. Phần tử với nội suy làm giàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2.1. Hàm làm giàu thứ bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
v3.4. Phần tử dầm Q3DB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1. Trường nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Ma trận độ cứng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Ma trận và véc-tơ tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1. Lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.2. Phần tử khối lượng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8. Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1. Dao động tự do của dầm ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1.1. Kiểm chứng phần tử TBSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1.4. Ảnh hưởng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1.5. Ảnh hưởng của phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2. Dao động tự do của dầm hai pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2.1. Kiểm chứng phần tử TBSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1. Dầm ba pha chịu lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.1.1. Kiểm chứng phần tử FBKO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1.2. Lực di động với vận tốc không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1.3. Lực di động với vận tốc thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
vi
4.3.2. Dầm hai pha chịu khối lượng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.2.1. Kiểm chứng phần tử Q3DB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2.2. Ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng tải di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.2.3. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học vi mô . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2.4. Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.2.5. Phân bố của ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Danh mục công trình liên quan tới luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Phụ lục A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Phụ lục B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
Các kí hiệu thông thường
A Diện tích tiết diện ngang
A11 Độ cứng dọc trục
A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn
A22 Độ cứng chống uốn
A33 Độ cứng chống trượt
A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo
A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn
A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao
Aus Độ cứng tương hỗ kéo-trượt
(sử dụng trong lý thuyết Shimpi-Patel)
Abs Độ cứng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel)
Ass Độ cứng chống trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel)
Ash Độ cứng chống trượt bậc cao (Lý thuyết Shimpi-Patel)
b Chiều rộng dầm
B11,B22,B44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết bậc ba Shi)
D11, D22, D44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết tựa 3D)
Dd Hệ số động lực học
G12,G22,G44 Độ cứng tương hỗ dọc trục-độ dãn dày, uốn-độ
dãn dày và trượt-độ dãn dày (Lý thuyết tựa 3D)
F0 Độ lớn lực di động
E f (x,z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng
G f (x,z) Mô-đun trượt hiệu dụng
Gc Mô-đun trượt của gốm
Gm Mô-đun trượt của kim loại
h Chiều cao dầm
vii
viii
(h1 : h2 : h3) Tỉ số độ dày giữa các lớp dầm
I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang
I11 Mô-men khối lượng dọc trục
I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay
I22 Mô-men khối lượng quay
I34, I44, I66 Mô-men khối lượng bậc cao (Lý thuyết bậc ba Shi)
Ius Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-trượt
(Lý thuyết Shimpi-Patel)
Ibs Mô-men khối lượng tương hỗ uốn-trượt
(Lý thuyết Shimpi-Patel)
Iss Mô-men khối khối lượng do trượt
(Lý thuyết Shimpi-Patel)
kw Độ cứng lò xo Winkler
ks Độ cứng các lớp trượt nền Pasternak
k1 Tham số độ cứng của lò xo Winkler
k2 Tham ... H. Nguyen, T.T. Tran, and V.T. Bui. Vibration of bi-
dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load.
Acta Mechanica, 228(1):141–155, 2017.
[120] D.K. Nguyen and T.T. Tran. Free vibration of tapered BFGM beams using an
efficient shear deformable finite element model. Steel and Composite Struc-
tures, 29(3):363–377, 2018.
[121] D.K. Nguyen and T.T. Tran. A corotational formulation for large displacement
analysis of functionally graded sandwich beam and frame structures. Mathe-
matical Problems in Engineering, 2016, 2016.
[122] V.N. Pham, D.K. Nguyen, and B.S. Gan. Vibration analysis of two-directional
functionally graded sandwich beams using a shear deformable finite element
formulation. Advances in Technology Innovation, 4:152–164, 2019.
[123] C.I. Le, N.A.T. Le, and D.K. Nguyen. Free vibration and buckling of bidi-
rectional functionally graded sandwich beams using an enriched third-order
shear deformation beam element. Composite Structures, 261261:113309, 2020.
https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309.
140
[124] D.K. Nguyen, T.T. Tran, V.N. Pham, and N.A. Le. Dynamic analysis of an in-
clined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under
a moving mass. European Journal of Mechanics-A/Solids, 88:104276, 2021.
https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276.
[125] A.N.T. Vu, , N.A. Le, and D.K. Nguyen. Dynamic behaviour of bidi-
rectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with
partial foundation supporting effect. Acta Mechanica, 232(4), 2021.
https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z.
[126] G. Shi. A new simple third-order shear deformation theory of plates. Interna-
tional Journal of Solids and Structures, 44:4399–417, 2007.
[127] R.P. Shimpi and H.G. Patel. Free vibrations of plate using two variable refined
plate theory. Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–99, 2006.
[128] M. Nemat-Alla, K.I.E. Ahmed, and I. Hassab-Allah. Elastic-plastic analysis of
two-dimensional functionally graded materials under thermal loading. Inter-
national Journal of Solids and Structures, 46:2774–86, 2009.
[129] G. Shi, K.Y. Lam, and T.E. Tay. On efficient finite element modeling of com-
posite beams and plates using higher-order theories and an accurate composite
beam element. Composite Structures, 41:159–165, 1998.
[130] G. Shi and K.Y. Lam. Finite element vibration analysis of composite beams
based on higher-order beam theory. Journal of Sound and Vibration, 219:707–
721, 1999.
[131] S.C. Dutta and R. Roy. A critical review on idealization and modeling for in-
teraction among soil–foundation–structure system. Computers and Structures,
80:1579–1594, 2002.
[132] M. Géradin and R. Rixen. Mechanical Vibrations, Theory and Application to
Structural Dynamics. Wiley, Chichester, 2nd edition, 1997.
[133] R.D. Cook, D.S. Malkus, and M.E. Plesha. Concepts and applications of finite
element analysis. John Wiley & Sons, New York, 4rd edition, 2002.
141
[134] J.B. Kosmatka. An improve two-node finite element for stability and nat-
ural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams. Computers Structures,
57:141–149, 1995.
[135] A. Chakraborty, S. Gopalakrishman, and J.N. Reddy. A new beam finite ele-
ment for the analysis of functionally graded materials. International Journal
of Mechanical Science, 45:519–539, 2003.
[136] O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor. The finite element method. Mc Graw-Hill
Book Company, London, 1997.
[137] P. Solín. Partial differential equations and the finite element method. John
Wiley & Sons Inc., Hoboken, 2006.
[138] L. Frýba. Vibration of solids and structures under moving loads. Thomas
Telford, London, 1999.
[139] N.M. Newmark. A method of computation for structural dynamics. Journal of
the Engineering Mechanics Division, 85(EM3):67–94, 1959.
[140] M. Olsson. On the fundamental moving load problem. Journal of Sound and
Vibration, 145:299–307, 1991.
[141] Q. Song, J. Shi, and Z. Liu. Vibration analysis of functionally graded plate with
a moving mass. Applied Mathematical Modelling, 46:141–160, 2017.
Phụ Lục
Phụ lục A
Biểu thức cho các độ cứng thành phần AM1i j ,A
M2
i j ,A
M1M2
i j ,A
M2M3
i j của dầm 2D-
FGSW ba pha trong phương trình (2.21)
AM111 = (z2− z1)bE1, A
M2
11 = (z1− z0+ z3− z2)bE2,
AM1M211 =
(z1− z0+ z3− z2)
nz +1
bE12, A
M2M3
11 =
(z1− z0+ z3− z2)nz
nz +1
bE23.
(A.1)
AM112 =
z22− z
2
1
2
bE1, A
M2
12 =
z21− z
2
0+ z
2
3− z
2
2
2
bE2,
AM1M212 =
[
z0(z1− z0)− z3(z2− z3)
nz +1
+
(z1− z0)
2− (z2− z3)
2
nz +2
]
bE12,
AM2M312 =
[
z21− z
2
0+ z
2
2− z
2
3
2
−
z0(z1− z0)− z3(z2− z3)
nz +1
−
(z1− z0)
2− (z2− z3)
2
nz +2
]
bE23.
(A.2)
AM122 =
z32− z
3
1
3
bE1, A
M2
22 =
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
bE2,
AM1M222 =
[
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
+2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
+
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bE12,
AM2M322 =
[
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
−
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
−2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
−
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bE23.
(A.3)
142
143
AM134 =
z42− z
4
1
4
bE1, A
M2
34 =
z41− z
4
0+ z
4
3− z
4
2
4
bE2,
AM1M234 =
[
z30(z1− z0)− z
3
3(z2− z3)
nz +1
+3
z20(z1− z0)
2− z23(z2− z3)
2
nz +2
+3
z0(z1− z0)
3− z3(z2− z3)
3
nz +3
+3
(z1− z0)
4− (z2− z3)
4
nz +4
]
bE12,
AM2M334 =
[
z41− z
4
0+ z
4
3− z
4
2
4
−
z30(z1− z0)− z
3
3(z2− z3)
nz +1
−3
z20(z1− z0)
2− z23(z2− z3)
2
nz +2
−3
z0(z1− z0)
3− z3(z2− z3)
3
nz +3
−
(z1− z0)
4− (z2− z3)
4
nz +4
]
bE23.
(A.4)
AM144 =
z52− z
5
1
5
bE1, A
M2
44 =
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
bE2,
AM1M244 =
[
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
+4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
+6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
+4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
+
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bE12,
AM2M344 =
[
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
−
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
−4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
−6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
−4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
−
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bE23.
(A.5)
144
AM166 =
z72− z
7
1
7
bE1, A
M2
66 =
z71− z
7
0+ z
7
3− z
7
2
7
bE2,
AM1M266 =
[
z60(z1− z0)− z
6
3(z2− z3)
nz +1
+6
z50(z1− z0)
2− z53(z2− z3)
2
nz +2
+15
z40(z1− z0)
3− z43(z2− z3)
3
nz +3
+20
z30(z1− z0)
4− z33(z2− z3)
4
nz +4
+15
z20(z1− z0)
5− z23(z2− z3)
5
nz +5
+6
z0(z1− z0)
6− z3(z2− z3)
6
nz +6
+
(z1− z0)
7− (z2− z3)
7
nz +7
]
bE12,
AM2M366 =
[
z71− z
7
0+ z
7
3− z
7
2
7
−
z60(z1− z0)− z
6
3(z2− z3)
nz +1
−6
z50(z1− z0)
2− z53(z2− z3)
2
nz +2
−15
z40(z1− z0)
3− z43(z2− z3)
3
nz +3
−20
z30(z1− z0)
4− z33(z2− z3)
4
nz +4
−15
z20(z1− z0)
5− z23(z2− z3)
5
nz +5
−6
z0(z1− z0)
6− z3(z2− z3)
6
nz +6
−
(z1− z0)
7− (z2− z3)
7
nz +7
]
bE23.
(A.6)
BM111 = (z2− z1)bG1, B
M2
11 = (z1− z0+ z3− z2)bG2,
BM1M211 =
(z1− z0+ z3− z2)
nz +1
bG12, B
M2M3
11 =
(z1− z0+ z3− z2)nz
nz +1
bG23.
(A.7)
BM122 =
z32− z
3
1
3
bG1, B
M2
22 =
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
bG2,
BM1M222 =
[
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
+2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
+
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bG12,
BM2M322 =
[
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
−
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
−2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
−
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bG23.
(A.8)
145
BM144 =
z52− z
5
1
5
bG1, B
M2
44 =
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
bG2,
BM1M244 =
[
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
+4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
+6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
+4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
+
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bG12,
BM2M344 =
[
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
−
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
−4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
−6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
−4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
−
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bG23.
(A.9)
trong đó E12 = E1−E2, E23 = E2−E3, G12 = G1−G2, G23 = G2−G3.
Phụ lục B
Biểu thức cho các mô-men khối lượng thành phần IM1i j , I
M2
i j , I
M1M2
i j và I
M2M3
i j
của dầm 2D-FGSW ba pha trong phương trình (2.24)
IM111 = (z2− z1)bρ1, I
M2
11 = (z1− z0+ z3− z2)bρ2
IM1M211 =
(z1− z0+ z3− z2)
nz +1
bρ12, I
M2M3
11 =
(z1− z0+ z3− z2)nz
nz +1
bρ23
(B.1)
IM112 =
z22− z
2
1
2
bρ1, I
M2
12 =
z21− z
2
0+ z
2
3− z
2
2
2
bρ2,
IM1M212 =
[
z0(z1− z0)− z3(z2− z3)
nz +1
+
(z1− z0)
2− (z2− z3)
2
nz +2
]
bρ12,
IM2M312 =
[
z21− z
2
0+ z
2
2− z
2
3
2
−
z0(z1− z0)− z3(z2− z3)
nz +1
−
(z1− z0)
2− (z2− z3)
2
nz +2
]
bρ23.
(B.2)
146
IM122 =
z32− z
3
1
3
bρ1, I
M2
22 =
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
bρ2,
IM1M222 =
[
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
+2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
+
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bρ12,
IM2M322 =
[
z31− z
3
0+ z
3
3− z
3
2
3
−
z20(z1− z0)− z
2
3(z2− z3)
nz +1
−2
z0(z1− z0)
2− z3(z2− z3)
2
nz +2
−
(z1− z0)
3− (z2− z3)
3
nz +3
]
bρ23.
(B.3)
IM134 =
z42− z
4
1
4
bρ1, I
M2
34 =
z41− z
4
0+ z
4
3− z
4
2
4
bρ2,
IM1M234 =
[
z30(z1− z0)− z
3
3(z2− z3)
nz +1
+3
z20(z1− z0)
2− z23(z2− z3)
2
nz +2
+3
z0(z1− z0)
3− z3(z2− z3)
3
nz +3
+3
(z1− z0)
4− (z2− z3)
4
nz +4
]
bρ12,
IM2M334 =
[
z41− z
4
0+ z
4
3− z
4
2
4
−
z30(z1− z0)− z
3
3(z2− z3)
nz +1
−3
z20(z1− z0)
2− z23(z2− z3)
2
nz +2
−3
z0(z1− z0)
3− z3(z2− z3)
3
nz +3
−
(z1− z0)
4− (z2− z3)
4
nz +4
]
bρ23.
(B.4)
147
IM144 =
z52− z
5
1
5
bρ1, I
M2
44 =
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
bρ2,
IM1M244 =
[
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
+4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
+6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
+4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
+
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bρ12,
IM2M344 =
[
z51− z
5
0+ z
5
3− z
5
2
5
−
z40(z1− z0)− z
4
3(z2− z3)
nz +1
−4
z30(z1− z0)
2− z33(z2− z3)
2
nz +2
−6
z20(z1− z0)
3− z23(z2− z3)
3
nz +3
−4
z0(z1− z0)
4− z3(z2− z3)
4
nz +4
−
(z1− z0)
5− (z2− z3)
5
nz +5
]
bρ23.
(B.5)
IM166 =
z72− z
7
1
7
bρ1, I
M2
66 =
z71− z
7
0+ z
7
3− z
7
2
7
bρ2,
IM1M266 =
[
z60(z1− z0)− z
6
3(z2− z3)
nz +1
+6
z50(z1− z0)
2− z53(z2− z3)
2
nz +2
+15
z40(z1− z0)
3− z43(z2− z3)
3
nz +3
+20
z30(z1− z0)
4− z33(z2− z3)
4
nz +4
+15
z20(z1− z0)
5− z23(z2− z3)
5
nz +5
+6
z0(z1− z0)
6− z3(z2− z3)
6
nz +6
+
(z1− z0)
7− (z2− z3)
7
nz +7
]
bρ12,
IM2M366 =
[
z71− z
7
0+ z
7
3− z
7
2
7
−
z60(z1− z0)− z
6
3(z2− z3)
nz +1
−6
z50(z1− z0)
2− z53(z2− z3)
2
nz +2
−15
z40(z1− z0)
3− z43(z2− z3)
3
nz +3
−20
z30(z1− z0)
4− z33(z2− z3)
4
nz +4
−15
z20(z1− z0)
5− z23(z2− z3)
5
nz +5
−6
z0(z1− z0)
6− z3(z2− z3)
6
nz +6
−
(z1− z0)
7− (z2− z3)
7
nz +7
]
bρ23.
(B.6)
148
với ρ12 = ρ1−ρ2, ρ23 = ρ2−ρ3.