Luận án Phát triển năng lực giao tiếp toán học của học sinh bằng hình thức tranh luận khoa học trong dạy học giải tích ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
---------------------- 
VƯƠNG VĨNH PHÁT 
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC 
CỦA HỌC SINH BẰNG HÌNH THỨC TRANH LUẬN 
KHOA HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
---------------------- 
VƯƠNG VĨNH PHÁT 
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC 
CỦA HỌC SINH BẰNG HÌNH THỨC TRANH LUẬN 
KHOA HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán 
Mã số: 62.14.01.11 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
1. PGS.TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG 
2. GS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC 
Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021
i 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và 
kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong 
bất kỳ công trình nào khác. 
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2021 
 Tác giả luận án 
Vương Vĩnh Phát 
ii 
MỤC LỤC 
LỜI CAM ĐOAN............i 
MỤC LỤC .........ii 
DANH MỤC CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN....vi 
DANH MỤC CÁC BẢNG.......................................................................................vii 
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, SƠ ĐỒ................................................................viii 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ..................................................................................... 1 
1.1. Sự cần thiết phải phát triển năng lực giao tiếp toán học .............................. 1 
1.2. Tranh luận khoa học có nhiều tiềm năng phát triển năng lực giao tiếp toán 
học .................................................................................................................... 3 
1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức Giải tích ......................................................... 4 
2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU ....................................................................... 11 
2.1. Giao tiếp toán học và năng lực giao tiếp toán học ..................................... 12 
2.2. Tranh luận và tranh luận khoa học............................................................ 15 
2.3. Dạy học giải tích toán học ở trường phổ thông ......................................... 17 
3. MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU.................................................... 26 
4. KHÁCH THỂ, ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU .............................. 27 
4.1. Khách thể nghiên cứu ............................................................................... 27 
4.2. Đối tượng nghiên cứu............................................................................... 27 
4.3. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 27 
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU .......................................................................... 27 
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC .......................................................................... 28 
7. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................. 28 
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận .............................................................. 28 
7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn ........................................................... 29 
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.......................................................... 29 
8. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN ........................................................ 29 
8.1. Về mặt lí luận ........................................................................................... 29 
8.2. Về mặt thực tiễn ....................................................................................... 29 
iii 
9. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN ........................................................................ 30 
Chương 1. KHUNG LÍ THUYẾT THAM CHIẾU ............................................ 31 
1.1. Năng lực, năng lực toán học và năng lực giao tiếp toán học ......................... 31 
1.1.1. Khái niệm năng lực ............................................................................... 31 
1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................. 33 
1.1.3. Năng lực giao tiếp toán học ................................................................... 35 
1.2. Tranh luận, tranh luận khoa học và tranh luận khoa học trong dạy học Toán48 
1.2.1. Các khái niệm ....................................................................................... 48 
1.2.2. Một số cách tạo ra tình huống tranh luận khoa học ................................ 53 
1.2.3. Các quy tắc của tranh luận khoa học trong dạy học toán ........................ 59 
1.2.4. Vai trò của tranh luận đối với sự phát triển năng lực giao tiếp toán học . 59 
1.2.5. Quy trình dạy học toán bằng hình thức tranh luận khoa học .................. 62 
1.3. Những vấn đề liên quan đến giao tiếp toán học và tranh luận khoa học ....... 69 
1.3.1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học .............................................. 69 
1.3.2. Biểu diễn toán học ................................................................................. 70 
1.3.3. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ........................................................... 74 
1.3.4. Bài toán kết thúc mở ............................................................................. 77 
1.3.5. Giải thích, kiểm chứng, chứng minh và lập luận .................................... 81 
1.3.6. Tiêu chuẩn để thiết kế tình huống tranh luận khoa học .......................... 84 
1.4. Phân tích và đánh giá năng lực giao tiếp toán học trong dạy học giải tích .... 84 
1.4.1. Mô hình lập luận của Toulmin............................................................... 84 
1.4.2. Đánh giá lập luận của học sinh .............................................................. 87 
1.4.3. Đánh giá năng lực giao tiếp toán học ..................................................... 90 
1.5. Kết luận chương 1 ....................................................................................... 94 
Chương 2. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....... 96 
2.1. Quy trình dạy học có pha tranh luận khoa học ............................................. 96 
2.2. Thiết kế các tình huống dạy học bằng tranh luận khoa học ........................ 102 
2.2.1. Nghiên cứu 1 ....................................................................................... 103 
2.2.2. Nghiên cứu 2 ....................................................................................... 108 
2.2.3. Nghiên cứu 3 ....................................................................................... 112 
iv 
2.2.4. Nghiên cứu 4 ....................................................................................... 116 
2.2.5. Nghiên cứu 5 ....................................................................................... 120 
2.3. Thực nghiệm ............................................................................................. 123 
2.3.1. Nghiên cứu 1 ....................................................................................... 123 
2.3.2. Nghiên cứu 2 ....................................................................................... 125 
2.3.3. Nghiên cứu 3 ....................................................................................... 128 
2.3.4. Nghiên cứu 4 ....................................................................................... 131 
2.3.5. Nghiên cứu 5 ....................................................................................... 133 
2.4. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 136 
Chương 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .............................................................. 138 
3.1. Nghiên cứu 1 ............................................................................................. 138 
3.1.1. Đánh giá định lượng ............................................................................ 138 
3.1.2. Đánh giá định tính ............................................................................... 142 
3.2. Nghiên cứu 2 ............................................................................................. 149 
3.2.1. Đánh giá định lượng ............................................................................ 149 
3.2.2. Đánh giá định tính ............................................................................... 150 
3.3. Nghiên cứu 3 ............................................................................................. 159 
3.3.1. Đánh giá định lượng ............................................................................ 159 
3.3.2. Đánh giá định tính ............................................................................... 163 
3.4. Nghiên cứu 4 ............................................................................................. 172 
3.4.1. Đánh giá định lượng ............................................................................ 172 
3.4.2. Đánh giá định tính ............................................................................... 176 
3.5. Nghiên cứu 5 ............................................................................................. 179 
3.5.1. Đánh giá định lượng ............................................................................ 179 
3.5.2. Đánh giá định tính ............................................................................... 182 
3.6. Kết luận chương 3 ..................................................................................... 188 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................... 190 
1. Kết quả đạt được của luận án ........................................................................ 190 
2. Hạn chế của đề tài ........................................................................................ 191 
3. Một số ý kiến đề xuất ................................................................................... 192 
v 
4. Hướng phát triển của đề tài........................................................................... 193 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ......................................... 194 
I. Bài báo khoa học .......................................................................................... 194 
II. Bài báo trong kỷ yếu hội thảo khoa học quốc tế ........................................... 194 
III. Các báo cáo trong hội thảo khoa học quốc tế .............................................. 195 
IV. Đề tài nghiên cứu khoa học ........................................................................ 195 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 196 
Tiếng Việt .......................... ... hiết được 
trình bày dưới 
dạng văn bản toán 
học. 
HS chưa hiểu và 
chưa ghi chép 
được các thông tin 
cần thiết của bài 
toán được trình 
bày dưới dạng văn 
bản hoặc do người 
khác nói hoặc viết 
ra. 
Bước đầu HS có 
thể nghe hiểu, đọc 
hiểu và ghi chép 
được các thông tin 
của bài toán cần 
thiết, tuy nhiên 
chưa đầy đủ hoặc 
có ít sai lệch. 
HS nghe hiểu, đọc 
hiểu và ghi chép 
tương đối đầy đủ 
và chính xác các 
thông tin của bài 
toán cần thiết, 
nhận biết được 
vấn đề cần giải 
quyết. 
HS nghe hiểu, 
đọc hiểu và ghi 
chép đầy đủ và 
chính xác các 
thông tin của bài 
toán cần thiết, 
biết phân biệt 
các thông tin 
quan trọng và 
nhận biết được 
vấn đề cần giải 
quyết. 
2 Trình bày, diễn đạt 
được các nội dung, 
ý tưởng, giải pháp 
toán học trong sự 
tương tác với 
người khác. 
- Không viết được 
phương trình vận 
tốc theo thời gian. 
- Chỉ viết được 
phương trình vận 
tốc theo thời gian 
trong giờ cuối 
ݒ = ଶ଻
ସ
. 
- Viết được 
phương trình vận 
tốc trong 3 giờ 
đầu 
ݒ = ିଽ
ସ
ݐଶ + 9ݐ. 
- Viết được 
phương trình vận 
tốc theo thời gian 
trong giờ cuối 
ݒ = ଶ଻
ସ
. 
- Viết được các 
phương trình 
vận tốc. 
- Tính được 
quãng đường hai 
giờ cuối là 15 ݇݉ 
3 Sử dụng được hiệu 
quả NNTH kết hợp 
với ngôn ngữ 
thông thường hoặc 
động tác hình thể 
khi trình bày, giải 
thích và đánh giá 
các ý tưởng toán 
học trong sự tương 
tác với người khác. 
- Không viết được 
phương trình của 
parabol. 
- Chỉ viết được 
phương trình của 
đưởng thẳng hoặc 
của parabol. 
- Viết được 
phương trình của 
đưởng thẳng và 
của parabol. 
- Viết được 
phương trình của 
đưởng thẳng và 
của parabol. 
- Biết dùng tích 
phân để tính 
quãng đường. 
PL 126 
Bảng 3.15. Phân bố điểm NLGTTH bằng ngôn ngữ viết của học sinh 
 HS ݔ ݕ ݕ − ݔ 
1 10 10 0 
2 9 8 -1 
3 10 10 0 
5 10 10 0 
6 0 7 7 
7 0 9 9 
8 10 8 -2 
9 4 10 6 
10 2 9 7 
11 3 9 6 
12 0 5 5 
13 5 8 3 
14 0 8 8 
15 0 7 7 
16 5 10 5 
17 0 8 8 
19 5 7 2 
20 3 8 5 
21 3 8 5 
22 2 8 6 
23 2 6 4 
24 4 10 6 
25 7 10 3 
26 5 10 5 
27 0 7 7 
30 6 10 4 
31 7 10 3 
32 5 10 5 
PL 127 
6.3. Áp phích của các nhóm 
PL 128 
PL 129 
PL 130 
PL 131 
PL 132 
PL 133 
PL 134 
PL 135 
PL 136 
6.4. Nội dung tranh luận của học sinh 
6.4.1. Thảo luận nhóm 4 gồm bốn học sinh: HS17, HS18, HS9, HS20 
Dòng Học sinh Nội dung thảo luận 
1 HS19 Tôi nghĩ chu vi ở đây, mà tôi quên. 
2 HS20 Tại thấy nó cuối cùng là ݒ với ݐ, đâu phải là ݏ đâu 
mà tính chu vi. 
3 HS19 Nhưng nó là phương trình chuyển động thôi à. 
4 HS20 Cái bài đầu tiên tôi đánh dấu vậy rồi. 
5 HS19 Lúc này mình có thể tính theo các phương trình 
chuyển động của nó. 
6 HS17 Đúng rồi. 
7 HS18 Cái này không phải là phương trình của chuyển 
động, là phương trình của vận tốc. Khi bạn tìm 
được phương trình vận tốc thì nó biến đổi với vận 
tốc thẳng đều nên khi mình sử dụng tích phân 
mình tính, còn cái đoạn này là di chuyển với vận 
tốc không đổi nên mình mới áp dụng công thức. 
8 HS17 Đoạn thẳng trên hình nó không phải quãng đường. 
9 HS20 Đúng rồi! Nó biến thiên nguyên hàm. 
10 HS17 Nên mới sử dụng tích phân. 
11 HS19 Viết đi, tôi quên nó biến thiên. 
12 HS17 Viết phương trình từng đoạn ܱ ܣ,ܣܤ,ܤܥ, tính quãng 
đường ܱܣ trong 2 giây đầu, AB trong 2 giây tiếp 
theo và quãng đường BC trong 4 giây cuối. 
13 HS20 Viết phương trình đường thẳng ܱܣ hả? Thôi thảo 
luận xong đi. 
14 HS19 Thầy nói quãng đường bằng cái gì đạo hàm của vận 
tốc. 
15 HS18 Đâu có, vận tốc là đạo hàm của quãng đường. 
16 HS20 Đúng rồi. 
PL 137 
17 HS18 Nên mình tìm quãng đường, mình mới lấy tích phân 
ngược trở lại. 
18 HS19 Lấy tích phân của ݒ(ݐ) lên thôi. 
19 HS17 Đúng rồi. 
20 HS20 Không có ݐ, ݒ nó phụ thuộc vào ݐ rồi. 
21 HS18 Ý tôi nói, vận tốc là bằng đạo hàm của quãng 
đường. Tính ra quãng đường sẽ bằng tích phân 
( )v t dt . 
22 HS20 Công thức ݏ = ݒݐ chỉ áp dụng cho cái gì? 
23 HS19 Tôi nghĩ nó là như vậy, không có ra cái ݐଶ. Ví dụ ở 
đây, bạn xác định được phương trình ݒ = ݐ. 
24 HS18 Giống như mình học tích phân của ݂(ݏ)݀ݏ. 
25 HS17 Tích phân quãng đường. 
26 HS18 ݏ theo ݐ tức là mình vẫn áp dụng công thức ݒ(ݐ) mà, 
lúc này ݒ nó theo ݐ. 
27 HS19 Rõ ràng nếu lấy lên thì ݒ biến thiên theo ݐ thì lúc 
này chỉ lấy biến thiên theo ݐ. Còn phương trình 
ݒ = ݐ thôi thì bạn chỉ cần thế ݒ = ݐ lên đây rồi ݀ݐ 
thôi, lúc này ݒ biến thiên theo ݐ luôn. 
28 HS20 Đúng rồi. 
29 HS19 Rõ ràng nó biến thiên theo thời gian, còn nếu ghi 
công thức này ra thì quãng đường ݏ = ݒݐ luôn. 
30 HS20 Vận tốc bằng đạo hàm của quãng đường nên ghi 
ݏ′ = ݒ . 
31 HS19 Quan trọng là ở đây ݏ′(ݐ) = ݒ(ݐ) ở đâu xuất hiện t 
nữa, trong khi lúc này mình hiểu ݒ chỉ biến thiên theo 
ݐ. 
PL 138 
32 HS20 Hình như là ݏ = ݒݐ chỉ áp dụng cho chuyển động 
thẳng thôi. 
33 HS17 Chuyển động thẳng thì trên đoạn ܣܤ bằng 4 mét. 
34 HS18 ܣܤ chắc chắn đúng bằng 4, cách tôi làm cũng đúng 
mà có đoạn ܱܣ. 
35 HS20 Đề đâu cho chuyển động biến thiên theo thời gian, 
hầu như là tại thời điểm. 
36 HS19 Ừ tại thời điểm hết luôn. 
37 HS18 Nhưng mà rõ ràng t ở đây là thay đổi. 
38 HS19 Nhưng mà nó thay đổi theo t ở đây, ghi tích phân ra 
lúc này bạn dư 1 chữ t ở đây. 
39 HS20 Lúc này t là biến, tại viết phương trình chuyển động 
của v thì nó sẽ có 2 tọa độ biến t ở trong đó. 
40 HS19 Bây giờ ghi phần dưới trước đi. Nhưng mà phần dưới 
của bạn cũng có vấn đề, nó không có t. Mấu chốt là 
nó xuất hiện chữ t. 
41 HS17 Vậy ghi quãng đường trong 2 giây tiếp là đoạn ܣܤ 
trước đi. 
42 HS20 Là bằng đoạn ܱܣ + ܣܤ ? 
43 HS18 Không, đâu bằng ܱܣ + ܣܤ, quãng đường có liên 
quan gì đâu. 
44 HS17 Đặt quãng đường trong 2 giây đầu là 
1
s , 2 giây tiếp 
là 
2
,s trong 4 giây cuối là 
3
.s 
45 HS17 ܣܤ cũng liên quan đến t. 
46 HS20 Chuyển động thẳng đều nên sử dụng được công thức 
ݏ = ݒݐ = 2.2 = 4 là ra quãng đường đoạn ܣܤ. 
47 HS19 Mình viết phương trình chuyển động của ݒ xong 
mình thế vô thôi. 
PL 139 
6.4.2. Tranh luận của cả lớp 
Dòng GV 
và 
HS 
Nội dung tranh luận 
1 GV GV treo áp phích của nhóm 6 
2 HS13 Theo em, phương trình đầu tiên ݒ = ݐ nên ݏଵ = ∫ ݐ݀ݐ = 2ଶ଴ 
ݏଶ là một hàm hằng nên các em cho luôn ݒ = 2 
Vậy ݏଶ = ∫ 2݀ݐ = 4ସଶ 
3 HS1, 
 6, 
 9, 18 
Ý kiến của bạn HS13 là đúng 
4 HS1 Theo ý em, chuyển động từ ܤ đến ܥ là chuyển động nửa đường 
tròn nên tích phân phải thêm một phần hai nữa 
ݏଷ = ଵଶ∫ ൣඥ4 − (ݐ − 6)ଶ + 2൧݀ݐ = 7,14଼ସ , còn nếu bạn để vậy 
là bạn tính cả đường tròn. 
5 HS18 Do khi bạn chọn phương trình vận tốc đi trên nửa đường tròn 
đường kính BC thì bạn đã lấy ݒ = 2 + ඥ4 − (ݐ − 6)ଶ, còn 
nửa đường tròn dưới ݒ = 2 −ඥ4 − (ݐ − 6)ଶ nên khi mình xét 
ݒ = 2 + ඥ4 − (ݐ − 6)ଶ thì không cần nhân cho ଵ
ଶ
 nữa. Kết quả 
ra 14,28. 
6 HS15 Em có thắc mắc, làm sao xác định được phương trình nửa 
đường tròn trên, nửa đường tròn dưới. 
7 HS9 Viết phương trình đường tròn. Đường tròn đường kính ܤܥ, có 
tâm ܫ(6; 2), bán kính ܴ = 2. 
PL 140 
Viết phương trình đường tròn (ݔ − 6)ଶ + (ݕ − 2)ଶ = 4
2
2
2 4 ( 6)
2 4 ( 6)
y x
y x
8 HS18 Khi mình nhìn vào thì cung ܤܥ ứng với ݕ ≥ 2 nên lấy nửa 
đường tròn trên. 
9 HS13 Sau khi xác định được nửa đường tròn trên nửa đường 
tròn dưới, không nhân với ૚
૛
. 
10 GV GV treo áp phích của nhóm 7 
11 
HS9 ݏ஺஻ = ∫ 2݀ݐସଶ không phải ݏ஺஻ = ∫ 2ݐ݀ݐସଶ 
12 HS13 Bạn đang nhầm là quãng đường bằng vận tốc nhân với thời 
gian. Thực sự đây là dùng tích phân, vận tốc bằng quãng 
đường đạo hàm còn quãng đường bằng nguyên hàm của vận 
tốc. 
13 GV GV treo áp phích của nhóm 4 
 HS15 Theo ý của nhóm em là chỗ đó không có nhân ଵ
ଶ
 . 
14 GV GV treo áp phích của nhóm 9 
15 Đây là áp phích giả định của GV soạn sẵn, mục đích của áp 
phích này là GV mong muốn HS hiểu được ý nghĩa hình học 
của tích phân. Ý nghĩa hình học của tích phân như là diện 
tích hình dưới đường cong. Cả lớp xem xét áp phích của 
nhóm 9, tính các diện tích cộng lại. 
16 HS23 “Hay quá!” Cả lớp vỗ tay vì bất ngờ. 
17 HS1 Nhóm của bạn có ý tưởng tại vì các bạn tính quãng đường 
bằng ݒݐ, nó cũng na ná như công thức tính diện tích. 
18 HS6 Trục tung là ݒ , trục hoành là ݐ, theo vật lí ݏ = ݒݐ, còn diện 
tích tam giác ܱܣܪ đúng bằng ݏ = ݒݐ. 
PL 141 
19 HS15 Tại sao quãng đường là diện tích tam giác. 
6.4.3. Giai đoạn tổng kết của nghiên cứu 5 
- Khi gặp kiểu nhiệm vụ như thế này HS thường đi tìm hàm số vận tốc ( ),v v t 
sau đó dùng tích phân để tính quãng đường. Tuy nhiên, cách giải đó có một số khó 
khăn khi HS tìm phương trình nửa đường tròn và tính tích phân bằng phương pháp 
đổi biến. HS nên dùng ý nghĩa hình học của tích phân để tính các quãng đường đi 
được, nghĩa là tính quãng đường dựa vào diện tích dưới đường cong. Từ đó quy về 
tính diện tích các hình phẳng quen thuộc. 
- Thông qua tình huống này hình thành ở HS những quy tắc tranh luận: Trong 
toán học, để tranh luận người ta dựa vào một số tính chất hay định nghĩa đã được 
phát biểu một cách rõ ràng và được thừa nhận. 
PL 142 
7. Phụ lục đề tài nghiên cứu cấp trường 
PL 143 
Các phiếu điều tra trong đề tài nghiên cứu cấp trường ở trường THPT Nguyễn 
Văn Thoại (Các phiếu điều tra của trường THPT Ung Văn Khiêm và trường Phổ 
thông Thực Hành Sư Phạm giống của trường THPT Nguyễn Văn Thoại). 
Trường THPT Nguyễn Văn Thoại 
Lớp:_ _ _ _ _ _ _ _ _ . Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1. Thời gian: 20 phút 
Câu hỏi 1: Dựa vào đồ thị của hàm số f và g trong Hình 1 để tìm các giới hạn sau, 
nếu chúng tồn tại. 
2 1 2
( )
) lim ( ) 5 ( ) ) lim ( ) ( ) ) lim
( )x x x
f x
a f x g x b f x g x c
g x 
Hình 1 
Câu hỏi 2: Cho hàm số 
24 2
( )
1 2
x khi x
f x
x khi x
(a) Tìm 
2
lim ( )
x
f x
 và 
2
lim ( )
x
f x
 (b) 
2
lim ( )
x
f x
 có tồn tại không? (c) Vẽ đồ 
thị của f . 
Bài làm 
PL 144 
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 2. Thời gian: 25 phút 
Câu hỏi 1: 
Hãy chỉ ra các khoảng của x mà hàm số 
3
3
( ) 1 2 3
4
x
khi x
f x x khi x
 liên 
tục. 
Câu hỏi 2: Cho hàm số 2
3 2 1
( )
11
x khi x
f x
khi xx
a) Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x . Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số 
trên tập xác định của nó. 
b) Hãy chứng minh tính nhận xét trên là đúng. 
Bài làm 
PL 145 
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 3. Thời gian: 30 phút 
Câu hỏi 1: Khi tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng 
D giới hạn bởi parabol 2( ) :P y x và đường thẳng : 2d y x quay quanh trục 
Ox . Hai học sinh A và B đã có lời giải như sau: 
Lời giải của học sinh A: 
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi parabol 2( ) :P y x 
và đường thẳng : 2d y x quay quanh trục Ox là: 
2
2
2
0
2V x x dx 
Lời giải của học sinh B: 
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi parabol 2( ) :P y x 
và đường thẳng : 2d y x quay quanh trục Ox là: 
2 2
2 4
0 0
4V x dx x dx 
Các em hãy cho biết lời giải của học sinh A và lời giải của học sinh B đúng 
hay sai? Giải thích câu trả lời của em. 
Câu hỏi 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ( ) :C y x , 
đường thẳng ( ) : 2d y x và trục Ox theo hai cách khác nhau.