Luận án Thuật toán giải một số lớp bài toán cân bằng và điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
NGUYỄN THỊ THANH HÀ
THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
NGUYỄN THỊ THANH HÀ
THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 9 46 01 12
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
1. TS. Bùi Văn Định
2. TS. Đào Trọng Quyết
HÀ NỘI - 2021
iMục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
Bảng ký hiệu 14
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 16
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . 21
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . 25
1.3 Bài toán điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động 27
Chương 2. Một số thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn
điệu 32
2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường và phương pháp chiếu nhúng . . 33
2.2 Một số thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn điệu . . . . . 35
2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3. Hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp 49
3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Mối liên hệ giữa tập nghiệm của hệ bài toán cân bằng và bài toán
cân bằng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ii
Chương 4. Một thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng
và bài toán điểm bất động 63
4.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Một thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài
toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết quả đạt được 87
Hướng nghiên cứu tiếp theo 89
Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận
án 90
Tài liệu tham khảo 91
1Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn
của các cán bộ trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả viết chung với các
tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án.
Các kết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai
công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn
đầy đủ.
NCS. Nguyễn Thị Thanh Hà
2Lời cảm ơn
Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông
tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Văn Định và TS
Đào Trọng Quyết. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai
thầy hướng dẫn. Các thầy đã luôn dành cho trò sự quan tâm, động viên, giúp đỡ
rất tận tình trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, đặc biệt là TS Bùi Văn
Định, người đã không quản công sức, từng bước dẫn dắt, truyền cho trò niềm
đam mê học tập, nghiên cứu, cùng nhiều kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời
luôn khích lệ trò từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách trên bước đường
học tập, nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Tạ Ngọc Ánh, TS Hy Đức Mạnh, và các
Thầy Cô trong Bộ môn Toán, anh chị em, đồng nghiệp trong Khoa Công nghệ
Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự đã luôn quan tâm, tạo điều kiện và đã
cho tác giả những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự đã luôn
giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự cảm thông, chia
sẻ và giúp đỡ từ những người thân trong gia đình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới bố mẹ hai bên gia đình. Đặc biệt, xin cảm ơn mẹ, chồng và hai
con yêu quý, những người đã luôn gần gũi, cảm thông và sẻ chia cùng tôi trong
suốt thời gian qua. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này đến gia
đình thân yêu với tất cả tấm lòng biết ơn, yêu thương và trân trọng nhất.
Tác giả
3Mở đầu
1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Thuật ngữ "cân bằng (equilibrium)" đã được sử dụng rộng rãi trong vật
lý, hóa học, sinh học, kỹ thuật và kinh tế học. Nó thường đề cập đến các điều
kiện hoặc trạng thái của một hệ thống trong đó tất cả các tác động cạnh tranh
đều cân bằng. Chẳng hạn, trong vật lý, cân bằng cơ học là trạng thái mà trong
đó tổng của tất cả các lực và mô men lên mỗi phần tử của hệ thống đều bằng
không, trong khi chất lưu được cho là ở trạng thái cân bằng thủy tĩnh khi nó ở
trạng thái nghỉ, hoặc khi vận tốc dòng chảy tại mỗi điểm không đổi theo thời
gian. Trong hóa học, cân bằng động lực là trạng thái của một phản ứng thuận
nghịch, trong đó tốc độ của phản ứng thuận bằng tốc độ của phản ứng nghịch.
Trong sinh học, trạng thái cân bằng di truyền biểu thị tình trạng trong đó một
kiểu gen không tiến hóa trong quần thể từ thế hệ này qua thế hệ khác. Trong
kỹ thuật, cân bằng giao thông là sự phân bố ổn định dự kiến của lưu lượng trên
các con đường công cộng hoặc qua các mạng máy tính, viễn thông. Hơn nữa, lý
thuyết cân bằng nổi tiếng là một nhánh cơ bản của kinh tế học nghiên cứu các
động lực của cung, cầu và giá cả trong một nền kinh tế trong phạm vi một trong
hai thị trường (cân bằng riêng) hoặc một vài thị trường (cân bằng chung).
Sự cân bằng đặc biệt rất quan trọng trong toán học, cụ thể là trong các hệ
động lực học, phương trình vi phân đạo hàm riêng, và phép tính biến phân. Sau
sự đột phá của lý thuyết trò chơi và khái niệm cân bằng Nash, thuật ngữ này đã
được sử dụng trong toán học trong các ngữ cảnh rộng hơn rất nhiều bao gồm cả
những khía cạnh quan trọng của vận trù học và quy hoạch toán học. Nhiều bài
toán liên quan đến sự cân bằng bao gồm một số trong chúng đã kể ở trên có thể
4được nhìn nhận trong một thể thống nhất thông qua các mô hình toán học khác
nhau như: bài toán tối ưu, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán tối ưu hóa đa mục tiêu, trò chơi không hợp tác .... Hầu hết các mô hình toán
học này có cùng một cấu trúc chung cơ bản, cho phép chúng ta phát biểu chúng
một cách thuận tiện theo một dạng thức duy nhất. Ngược lại, nếu có nhiều mô
hình cùng nằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép chúng ta có thể thiết
lập công thức chung cho cấu trúc thống nhất đó, như vậy chúng ta hoàn toàn
có thể phát triển các nghiên cứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho mô hình
chung, từ đó mang lại khả năng ứng dụng rộng rãi hơn cho các mô hình riêng lẻ.
Mô hình chung cho bài toán cân bằng được nghiên cứu trong luận án này có
thể phát biểu như sau:
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của
H, và f : C ×C → R là một song hàm cân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Bài toán cân bằng EP(C, f) là bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) ≥ 0, với mọi y ∈ C. EP (C, f)
Bài toán này xuất hiện lần đầu trong công trình của Nikaido - Isoda năm 1955
khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp
tác trong [59], nó cũng được xét đến dưới dạng bất đẳng thức minimax vào năm
1972 bởi tác giả Ky Fan, vì thế nó còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan [27]. Bài
toán EP(C, f) thường được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết
trò chơi, chính vì vậy, nó được gọi là Bài toán cân bằng (Equilibrium problem)
theo cách gọi của các tác giả L.D. Muu và W. Oettli năm 1992 trong [56], E.
Blum và W. Oettli năm 1994 trong [14].
Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức, nhưng nó bao hàm nhiều
lớp bài toán quen thuộc như: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân,
bài toán điểm bất động Kakutani, bài toán điểm yên ngựa, mô hình cân bằng
Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác...(xem [12–14, 37, 56]). Bài toán cân
bằng được xem là một mô hình toán học thống nhất cho nhiều lớp các bài toán
quan trọng riêng lẻ. Bởi lẽ đó, nhiều kết quả đã biết của các bài toán nói trên
5có thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điều chỉnh phù hợp,
từ đó có thể đem lại nhiều ứng dụng rộng lớn. Ngược lại các kết quả nhận được
cho bài toán cân bằng cũng có thể được áp dụng cho các trường hợp riêng của
nó (xem [14, 46, 54, 55]...)
Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra cho bài toán cân bằng cũng như
bất đẳng thức biến phân là nghiên cứu về phương diện lý thuyết như sự tồn tại
nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm đã được nhiều nhà nghiên cứu
đặc biệt quan tâm, có thể kể đến các tác giả như M. Bianchi và S. Schaible trong
[11], G. Bigi và các đồng tác giả trong [13], B.T. Kien, J.C. Yao, và N.D. Yen
[40], I.V. Konnov [45], L.D. Muu và W. Oettli [56], N.N. Tam, J.C. Yao và N.D.
Yen [72]. Trong việc nghiên cứu bài toán cân bằng, vấn đề xây dựng phương pháp
giải, đánh giá tốc hội tụ của các thuật toán đóng vai trò rất quan trọng, đến nay
đã có khá nhiều kết quả đạt được như của các tác giả P.K. Anh, D.V. Hieu [5],
P.N. Anh và L.T.H. An [8], G. Bigi và các đồng tác giả [12], B.V. Dinh và D.S.
Kim [22], B.V. Dinh và L.D. Muu [24], G. Mastroeni [54], A. Moudafi [55], M.A.
Noor [60], L.D. Muu trong [62], và đã được các tác giả L.D. Muu, N.V. Hien,
T.D. Quoc, N.V. Quy áp dụng vào các mô hình kinh tế trong [57, 58].
Các phương pháp giải bài toán cân bằng thông thường đòi hỏi tính đơn điệu
hoặc đơn điệu suy rộng của song hàm và đã được tiến hành nghiên cứu rộng rãi
bởi nhiều nhà khoa học như trong ([1, 8, 20, 24, 25, 30, 37, 49, 61, 80]). Tính
đến nay đã có một số kết quả đạt được cho lớp bài toán cân bằng lồi và đơn
điệu này, trong đó có thể kể đến các phương pháp hàm đánh giá (gap function
method) trong [53], phương pháp nguyên lý bài toán phụ (auxiliary subproblem
principle method) [54], phương pháp điểm gần kề (proximal point method) trong
[55], phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method) trong
[25, 73], đặc biệt là các phương pháp chiếu (projection methods) [24], và phương
pháp đạo hàm tăng cường (extragradient method) [8]. Gần đây một số tác giả đã
xây dựng thuật toán kiểu chiếu giải các bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến
phân không đơn điệu (xem [21, 65, 85]), tuy nhiên các kết quả còn chưa nhiều.
6Mặt khác, cũng vì nhiều bài toán cân bằng nảy sinh trong kinh tế có song hàm
không đơn điệu, cho nên trong luận án này, chúng tôi tiếp tục tập trung nghiên
cứu, xây dựng một số thuật toán mới giải bài toán cân bằng mà song hàm là
không đơn điệu.
Cùng với việc nghiên cứu, xây dựng các phương pháp giải bài toán cân bằng,
gần đây nhiều tác giả trong các bài báo [5, 6, 30, 41, 66–68, 78]... đã quan tâm
đến việc tìm nghiệm chung của một họ các bài toán cân bằng, đó là bài toán sau
đây.
Cho fi : C × C → R, i ∈ I, là các song hàm xác định trên C, I là tập các chỉ
số hữu hạn hoặc đếm được. Bài toán tìm nghiệm chung của họ các bài toán cân
bằng ký hiệu là CSEP là bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho fi(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C và ∀i ∈ I, CSEP(C, fi)
Với αi ∈ (0, 1), sao cho
∑ ... st., 19(1), pp. 195-206.
[19] P. Daniele, F. Giannessi, and A. Maugeri (2003), Equilibrium Problems and
Variational Models, Kluwer.
[20] B.V. Dinh (2017), An hybrid extragradient algorithm for variational inequal-
ities with pseudomonotone equilibrium constraints, J. Nonlinear Anal. Op-
tim., 8, pp. 71-83.
[21] B.V. Dinh, D.S. Kim (2016), Projection algorithms for solving nonmonotone
equilibrium problems in Hilbert space, J. Comput. Appl. Math., 302, pp.
106-117.
[22] B.V. Dinh, D.S. Kim (2017), Extragradient algorithms for equilibrium prob-
lems and symmetric generalized hybrid mappings, Optim. Lett., 11, pp. 537-
553.
[23] B.V. Dinh, D.X. Son, L. Jiao, and D.S. Kim (2016), Linesearch algorithms for
split equilibrium problems and nonexpansive mappings, Fixed Point Theory
Appl., 2016, 27 (2016).
[24] B.V. Dinh and L.D. Muu (2015), A projection algorithm for solving pseu-
domonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel
equilibria, Optimization, 64(3), pp. 559-575.
[25] B.V. Dinh, P.G. Hung, and L.D. Muu (2014), Bilevel optimization as a
regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numer.
Funct. Anal. Optim., 35(5), pp. 539-563.
[26] F. Facchinei, J.S. Pang (2003), Finite-dimensional Variational Inequalities
and Complementarity Problems, Springer, New York.
94
[27] K. Fan (1972), A minimax inequality and applications, in: O. Shisha, In-
equality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic
Press, New York. pp. 103-113
[28] A. Genel and J. Lindenstrauss (1975), An example concerning fixed points,
Isarel J. Math., 22, pp. 81-86.
[29] B. Halpern (1967), Fixed points of nonexpanding maps, Bull. Am. Math.
Soc., 73, pp. 957-961.
[30] D.V. Hieu, L.D. Muu, P.K. Anh (2016), Parallel hybrid extragradient meth-
ods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings,
Numer. Algorithms, 73, pp. 197-217.
[31] D.V. Hieu (2017), Halpern subgradient extragradient method extended to
equilibrium problems, RACSAM., 111(3), pp. 823-840.
[32] H. Iiduka and I. Yamada (2009), A subgradient-type method for the equi-
librium problem over the fixed point set and its applications, Optimization,
58(2), pp. 251-261.
[33] S. Itoh and W. Takahashi (1978), The common fixed point theory of single-
valued mappings and multi-valued mappings, Pacific J. Math., 79, pp. 493-
508.
[34] S. Ishikawa (1974), Fixed points by a new iteration method, Proc. Amer.
Math. Soc., 40, pp. 147-150.
[35] A.N. Iusem and V. Mohebbi (2020), Extragradient methods for nonsmooth
equilibrium problems in Banach spaces, Optimization, 69(11), pp. 2383-2403.
[36] A.N. Iusem and W. Sosa (2003), New existence results for equilibrium prob-
lems, Nonlinear Analysis, 52(2), pp. 621-635.
95
[37] A.N. Iusem and W. Sosa (2003), Iterative algorithms for equilibrium prob-
lems, Optimization, 52(3), pp. 301-316.
[38] G. Kassay, V. Ra˘dulescu, (2018), Equilibrium Problems and Application,
Elsevier.
[39] G. Kassay, T.N. Hai, N.T. Vinh, (2018), Coupling Popov’s algorithm with
subgradient extragradient method for solving equilibrium problems, J. Non-
linear Convex Anal., 19(6), pp. 959-986.
[40] B.T. Kien, J.C. Yao, N.D. Yen (2008), On the solution existence of pseu-
domonotone variational inequalities, J. Global Optim., 41(1), pp. 135-145.
[41] S.A. Khan, W. Cholamjiak, and K.R. Kazmi (2018), An inertial for-
ward–backward splitting method for solving combination of equilibrium
problems and inclusion problems, Comput. Appl. Math., 37(5), pp. 6283-
6307.
[42] W. Khuangsatung, A. Kangtunyakarn (2014), Algorithm of a new variational
inclusion problem and strictly pseudononspreading mapping with applica-
tion, Fixed Point Theory Appl., 2014:209.
[43] G.M. Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle points
and other problems, Ekon. Math. Methody, 12, pp. 747-756.
[44] R. Kraikaew and S. Saejung (2014), Strong convergence of the Halpern sub-
gradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert
spaces, J. Optim. Theory Appl., 163, pp. 399-412.
[45] I.V. Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequal-
ities, Springer-Verlag Berlin.
[46] I.V. Konnov (2003), Application of the proximal point method nonmonotone
equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl., 119, pp. 317-333.
96
[47] I.V. Konnov (2009), Regularization methods for nonmonotone equilibrium
problems, J. Nonlinear Convex Anal., 10, pp. 93-101.
[48] P. Kumam, N. Petrot, and R. Wangkeeree (2010), A hybrid iterative scheme
for equilibrium problems and fixed point problems of asymptotically k-strict
pseudo-contractions, J. Comput. Appl. Math., 233, pp. 2013-2026.
[49] W. Kumam, U. Witthayarat, P. Kumam, S. Suantai, and K. Wattanawitoon
(2016), Convergence theorem for equilibrium problem and Bregman strongly
nonexpansive mappings in Banach spaces, Optimization, 65, pp. 265-280.
[50] P.E. Mainge´ (2008), A hybrid extragradient viscosity methods for monotone
operators and fixed point problems, SIAM J. Control. Optim., 47, pp. 1499-
1515.
[51] P.E. Mainge´ (2010), The viscosity approximation process for quasi-
nonexpansive mapping in Hilbert space, Comput. Math. Appl., 59, pp. 74-79.
[52] W.R. Mann (1953), Mean value methods in iteration, Proc. Amer. Math.
Soc., 4, pp. 506-510.
[53] G. Mastroeni (2003), Gap functions for equilibrium problems, J. Global Op-
tim., 27, pp. 411–426.
[54] G. Mastroeni (2003), On auxiliary principle for equilibrium problems, Equi-
librium Problems and Variational Models, pp. 289-298.
[55] A. Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium prob-
lems, J. of Natural Geometry, 15, pp. 91-100.
[56] L.D. Muu, W. Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for
finding constrained equilibria, Nonlinear Anal. TMA., 18, pp. 1159-1166.
[57] L.D. Muu and T.D. Quoc (2009), Regularization algorithms for solving
97
monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilib-
rium model, J. Optim. Theory Appl., 142, pp. 185-204.
[58] L.D. Muu, N.V. Quy, and V.H. Nguyen (2007), On Nash-Cournot oligopolis-
tic market equilibrium models with concave cost functions, J. Glob. Optim.,
41, pp. 351-364.
[59] H. Nikaido, K. Isoda (1955), Note on noncooperative convex games, Pac. J.
Math., 5, pp. 807-815.
[60] M.A. Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium problems.
J. Optim. Theory Appl., 122, pp. 371-386 .
[61] N. Petrot, K. Wattanawitoonb, and P. Kumam (2010), A hybrid projection
method for generalized mixed equilibrium problems and fixed point problems
in Banach spaces, Nonlinear Anal. Hybrid Syst., 4, pp. 631-643.
[62] D.Q. Tran, M.L. Dung, and V.H. Nguyen (2008), Extragradient algorithms
extended to equilibrium problems, Optimization, 57, pp. 749-776.
[63] T.D. Quoc, P.N. Anh, and L.D. Muu (2012), Dual extragradient algorithms
extended to equilibrium problems, J. Global Optim., 52, pp. 139-159.
[64] R.T. Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press.
[65] J.J. Strodiot, P.T. Vuong, N.T.T. Van (2016), A class of shrinking projection
extragradient methods for solving non-monotone equilibrium problems in
Hilbert spaces, J. Global. Optim., 64, pp. 159-178.
[66] S. Suwannaut, A. Kangtunyakarn (2013), The combination of the set of
solutions of equilibrium problem for convergence theorem of the set of fixed
points of strictly pseudo-contractive mappings and variational inequalities
problem, Fixed Point Theory Appl., 291:26.
98
[67] S. Suwannaut, A. Kangtunyakarn (2014), Convergence analysis for the equi-
librium problems with numerical results, Fixed Point Theory Appl., 167:26.
[68] S. Suwannaut, A. Kangtunyakarn (2016), Convergence theorem for solving
the combination of equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert
spaces, Thai J. Math., 14, pp. 77-97.
[69] A.Tada and W. Takahashi (2007), Weak and strong convergence theorem for
nonexpansive mapping and equilibrium problem, J. Optim. Theory Appl.,
133, pp. 359-370.
[70] W. Takahashi, Y. Takeuchi, and R. Kubota (2008), Strong convergence the-
orems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert
spaces, J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.
[71] W. Takahashi, M. Toyoda (2003), Weak convergence theorems for nonex-
pansive mappings and monotone mappings, J. Optim. Theory Appl., 118,
pp. 417-428.
[72] N.N. Tam, J.C. Yao, N.D. Yen (2008), Solution methods for pseudomonotone
variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., 138(2), pp. 253–273.
[73] A.N. Tikhonov (1963), On the solutions of Ill-posed problems and the
method of egularization, Dokl. Akad. Nauk SSSA., 151, pp. 501-504.
[74] D.V. Thong, D.V. Hieu (2018), New extragradient methods for solving vari-
ational inequality problems and fixed point problems, J. Fixed Point Theory
Appl., 20(3), pp. 1-20.
[75] L.Q. Thuy, P.K. Anh, L.D. Muu, and T.N. Hai (2017), Novel hybrid methods
for pseudomonotone equilibrium problems and common fixed point prob-
lems, Numer. Funct. Anal. Optim., 38, pp. 443-465.
99
[76] N.T.T. Thuy, P.T. Hieu (2019), A hybrid method for solving variational
inequalities over the common fixed point sets of infinite families of nonex-
pansive mappings in Banach spaces, Optimization, 69(9), pp. 2155-2176.
[77] H. Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic
Publishers.
[78] P.T. Vuong, J.J. Strodiot, and V.H. Nguyen (2013), Extragradient methods
and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point
problems, J. Optim. Theory Appl., 155, pp. 605-627.
[79] N.T. Vinh, (2018), Golden ratio algorithms for solving equilibrium problems
in Hilbert spaces, ArXiv, https://arxiv.org/abs/1804.01829.
[80] R. Wangkeeree, U. Kamraksa (2009), An iterative approximation method
for solving a general system of variational inequality problems and mixed
equilibrium problems, Nonlinear Anal. Hybrid Syst., 3, pp. 615-630.
[81] H.K. Xu (2002), Iterative algorithm for nonlinear operators, J. London Math.
Soc., 66, pp. 240-256.
[82] I. Yamada (2001), The hybrid steepest descent method for the variational
inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive
mappings, In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S. ( eds.) Inherently Parallel
Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier,
Amsterdam. 8, pp. 473-504.
[83] I. Yamada and N. Ogura (2005), Hybrid steepest descent method for
variational inequality problem over the fixed point set of certain quasi-
nonexpansive mappings, Numer. Funct. Anal. Optim., 25, pp. 619-655.
[84] C.M. Yanes, H.K. Xu (2006), Strong convergence of the CQ method for fixed
point iteration processes, Nonlinear Anal. TMA., 64, pp. 2400-2411.
100
[85] M. Ye, Y. He (2014), A double projection method for solving variational
inequalities without monotonicity, Comput. Optim. Appl., 60, pp. 141-150.
[86] E. Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I.
Springer-Verlag, New York.