Luận án Dạy học khám phá hình học 10 với sự hỗ trợ của phần mềm động geogebra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
–––––––––– 
Lê Viết Minh Triết 
DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10 
VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG 
GEOGEBRA 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 
i 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
–––––––––– 
Lê Viết Minh Triết 
DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10 
VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG 
GEOGEBRA 
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán 
Mã số: 62 14 01 11 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
GS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC 
Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu 
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào 
khác. Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc. 
 Tác giả luận án 
 LÊ VIẾT MINH TRIẾT 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu 
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào 
khác. Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc. 
 Tác giả luận án 
 LÊ VIẾT MINH TRIẾT 
iii 
MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................... i
MỤC LỤC ................................................................................................................... .iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .......................................................................... viii
DANH MỤC CÁC BẢNG........................................................................................... ix
DANH MỤC CÁC HÌNH ...........................................................................................xii
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................1
1.1 Tổ chức quá trình dạy học theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, 
suy luận giải quyết vấn đề đang được quan tâm trong bối cảnh đổi mới chương trình 
giáo dục phổ thông hiện nay ...........................................................................................1
1.2 Phương tiện công nghệ (đặc biệt công cụ phần mềm toán học) hỗ trợ ngày càng đắc 
lực cho dạy học môn toán theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy 
luận giải quyết vấn đề......................................................................................................2
1.3 Đặc điểm nội dung chương trình hình học 10...........................................................3
1.4 Tổng quan các loại phần mềm hỗ trợ dạy học Toán và các nghiên cứu liên quan...4
1.5 Phần mềm GeoGebra – một lựa chọn cho việc hỗ trợ tổ chức hoạt động dạy học 
khám phá các tri thức trong chương trình hình học 10 ................................................10
1.6 Tổng quan các nghiên cứu ứng dụng phần mềm động GeoGebra vào dạy học .....11
2. Đề tài nghiên cứu .....................................................................................................18
3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................18
4. Nhiệm vụ nghiên cứu...............................................................................................18
5. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................18
6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................19
7. Cấu trúc của luận án ...............................................................................................19
8. Những luận điểm cần bảo vệ ..................................................................................21
9. Những đóng góp chính của luận án về khoa học và thực tiễn.............................21
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................................23 
1.1 Lí thuyết Hoạt động...............................................................................................23 
iv 
1.1.1. Hệ thống của một hoạt động ............................................................................... 24 
1.1.2. Cấu trúc của một hoạt động................................................................................. 24 
1.1.3. Quá trình phát sinh công cụ................................................................................. 26 
1.2 Dạy học khám phá ................................................................................................. 33 
1.2.1. Khái niệm khám phá ........................................................................................... 33 
1.2.2. Khái niệm dạy học khám phá .............................................................................. 34 
1.2.3. Đặc điểm của dạy học khám phá ......................................................................... 36 
1.2.4. Các kiểu dạy học khám phá................................................................................. 37 
1.2.5. Các mô hình dạy học khám phá và tác động hỗ trợ của GeoGebra .................... 38 
1.2.6. Vai trò của dạy học khám phá ............................................................................. 41 
1.3 Phần mềm toán học động GeoGebra ................................................................... 42 
1.3.1. Tính năng biểu diễn “kép động” của GeoGebra: Sự liên kết giữa biểu diễn đại số 
động và biểu diễn hình học động .................................................................................. 42 
1.3.2. Tính năng ấn kéo ................................................................................................. 44 
1.3.3. Tính năng đo lường ............................................................................................. 47 
1.3.4. Tính năng cá thể hóa công cụ .............................................................................. 48 
1.3.5. Tính năng tạo vết và quỹ tích .............................................................................. 48 
1.4 Một số khái niệm ................................................................................................... 48 
1.4.1. Môi trường và sự phản hồi .................................................................................. 48 
1.4.2. Hợp đồng dạy học ............................................................................................... 49 
1.4.3. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại ................................................... 50 
1.4.4. Dạy học khái niệm toán học ................................................................................ 50 
1.4.5. Dạy học giải các bài toán .................................................................................... 53 
1.5 Kết luận chương 1 ................................................................................................. 57 
CHƯƠNG 2. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................... 59 
2.1 Nghiên cứu 1: Khảo sát ý kiến nhận định của GV và HS về phần mềm 
GeoGebra ..................................................................................................................... 59 
2.1.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 59 
2.1.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 60 
2.1.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................................. 60 
v 
2.1.4. Thời gian khảo sát ............................................................................................... 60 
2.1.5. Công cụ khảo sát và xử lí dữ liệu ........................................................................ 60 
2.2 Nghiên cứu 2: Dạy học khám phá tri thức mới với sự hỗ trợ của GeoGebra .. 61 
2.2.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 61 
2.2.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 61 
2.2.3. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của 
GeoGebra ....................................................................................................................... 62 
2.2.4. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường elip với sự hỗ trợ của 
GeoGebra ....................................................................................................................... 68 
2.3 Nghiên cứu 3: Dạy học khám phá giải bài tập toán với sự hỗ trợ của phần mềm 
động GeoGebra ............................................................................................................ 75 
2.3.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 75 
2.3.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 75 
2.3.3. Trường hợp dạy học giải bài toán cực trị hình học với GeoGebra ...................... 75 
2.3.4. Trường hợp dạy học giải bài toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện 
cho trước với GeoGebra ................................................................................................ 77 
2.3.5. Trường hợp dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra ................... 80 
2.3.6. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình 
học với GeoGebra .......................................................................................................... 83 
2.3.7. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều kiện 
cho trước với GeoGebra theo mô hình BAbSPWG ...................................................... 84 
2.4 Kết luận chương 2 .................................................................................................. 85 
CHƯƠNG 3. KHẢO SÁT NHẬN ĐỊNH CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ 
PHẦN MỀM ĐỘNG GEOGEBRA ........................................................................... 87 
3.1 Kết quả khảo sát nhận định của GV xoay quanh vấn đề sử dụng phần mềm 
GeoGebra hỗ trợ dạy học Toán .................................................................................. 87 
3.2 Kết quả khảo sát nhận định của HS về cách sử dụng các công cụ của phần mềm 
GeoGebra ..................................................................................................................... 91 
3.3 Kết luận chương 3 .................................................................................................. 96 
CHƯƠNG 4. DẠY HỌC KHÁM PHÁ TRI THỨC MỚI VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA 
vi 
GEOGEBRA ................................... ... .644 .672 .941
BH.IV.2 49.63 59.668 .798 .853 .936
BH.IV.3 49.65 61.518 .736 .786 .938
BH.IV.4 50.02 61.452 .609 .667 .943
BH.IV.5 50.02 58.690 .835 .770 .935
BH.IV.6 49.81 59.012 .872 .892 .934
BH.IV.7 49.84 63.092 .694 .722 .940
BH.IV.8 50.07 57.971 .893 .869 .933
BH.IV.9 49.86 63.551 .551 .552 .944
BH.IV.10 49.91 61.229 .681 .711 .940
BH.IV.11 49.95 60.950 .752 .715 .938
BH.IV.12 49.77 61.897 .771 .778 .937
BH.IV.13 49.91 63.658 .614 .742 .942
Reliability Statistics
Item-Total Statistics
262 
Phụ lục 6: Các dạng toán liên quan đến Phương trình đường tròn trong SGK 
Hình học 10 hiện hành 
Trong SGK HH10 và Sách Bài tập HH10, chúng tôi tìm thấy 12 dạng toán liên 
quan đến Phương trình đường tròn bao gồm: 
A. Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 dạng 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (1) có phải là phương trình đường tròn hay không? 
Phương pháp giải: 
- Tính: 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 
- Căn cứ vào dấu của 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 để kết luận: 
+ Nếu 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0 thì (1) là phương trình đường tròn với tâm (a;b) và bán 
kính 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐. 
+ Nếu 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình của bất kì đường tròn 
nào. 
B. Dạng 2: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (2) có phải là phương trình đường tròn hay không? 
Phương pháp giải 
- Biến đổi (2) thành (1) bằng cách chia hai vế của (2) cho k, 
 𝑥2 + 𝑦2 − 2
𝑎
𝑘
𝑥 − 2
𝑏
𝑘
𝑦 +
𝑐
𝑘
= 0 
C. Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 
dạng 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 (3) trở thành một phương trình đường tròn. 
Phương pháp giải 
 - Thành lập bất phương trình ቀ
𝑝
−2
ቁ
2
+ ቀ
𝑞
−2
ቁ
2
− 𝑟 > 0 
- Tìm giá trị m thỏa mãn bất phương trình ቀ
𝑝
−2
ቁ
2
+ ቀ
𝑞
−2
ቁ
2
− 𝑟 > 0 
D. Dạng 4: Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn 
(𝐶): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 
Phương pháp giải 
- Xác định tọa độ tâm I của đường tròn: 𝐼 ቀ
𝑝
−2
,
𝑞
−2
ቁ 
263 
- Tính bán kính của đường tròn (C): 𝑅 = √ቀ
𝑝
−2
ቁ
2
+ ቀ
𝑞
−2
ቁ
2
− 𝑟 
E. Dạng 5: Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn 
(𝐶): 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 
Phương pháp giải 
- Chia hai vế của phương trình cho 𝛼: 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑝
𝛼
𝑥 +
𝑞
𝛼
𝑦 +
𝑟
𝛼
= 0 
- (C) có tâm 𝐼 ቀ
𝑝
−2𝛼
,
𝑞
−2𝛼
ቁ và có bán kính 𝑅 = √ቀ
𝑝
−2𝛼
ቁ
2
+ ቀ
𝑞
−2𝛼
ቁ
2
−
𝑟
𝛼
F. Dạng 6: Lập phương trình đường tròn (C) biết tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và đi qua điểm 
𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) 
Phương pháp giải 
 - Tính bán kính của đường tròn (C): 𝑅 = 𝐼𝐴 = √(𝑥𝐴 − 𝑎)2 + (𝑦𝐴 − 𝑏)2 
- Phương trình của đường tròn (C) là: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 
G. Dạng 7: Cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴) và 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵). Lập phương trình đường tròn 
(C) có đường kính AB. 
Phương pháp giải 
- Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C): 𝐼 ቀ
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2
;
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2
ቁ 
- Tính bán kính R của đường tròn (C): 𝑅 =
𝐴𝐵
2
=
√(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2
2
- Phương trình của đường tròn (C) là: ቀ𝑥 −
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2
ቁ
2
+ ቀ𝑦 −
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2
ቁ
2
= 𝑅2 
H. Dạng 8: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm 𝐼(a;b) và tiếp xúc với đường 
thẳng (Δ): Ax + By + C = 0 (với A2 + B2 ≠ 0) 
Phương pháp giải 
- Tính bán kính R của đường tròn: 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥) = |
𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶
√𝐴2+𝐵2
| 
- Phương trình của đường tròn (C) là: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 
I. Dạng 9: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) nằm trên đường thẳng 
(𝛥1): 𝐴1 𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và tiếp xúc với (𝛥2): 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 và 
(𝛥3): 𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3 = 0 
Phương pháp giải 
- Tìm tọa độ tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) của đường tròn bằng cách giải hệ phương trình: 
264 
{
A1a + B1. b + C1 = 0
|
𝐴2.𝑎+𝐵2.𝑏+𝐶
√𝐴2
2+𝐵2
2
| = |
𝐴3.𝑎+𝐵3.𝑏+𝐶
√𝐴3
2+𝐵3
2
| 
- Tìm bán kính 𝑅 của đường tròn: 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥1) hoặc 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥2) 
- Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 là phương trình của đường tròn sau khi 
thay các giá trị 𝑎, 𝑏, và 𝑅 bởi các giá trị vừa tìm được. 
J. Dạng 10: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼 nằm trên Δ đi qua 2 điểm 
𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴) và 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵) 
Phương pháp giải 
- Dạng tổng quát của phương trình của đường tròn (C) là 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
- Thay tọa độ 𝐴, 𝐵 vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và tọa độ 
(𝑎; 𝑏) của điểm 𝐼 vào (𝛥): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (vớsi 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0), ta thu được hệ 3 
phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐. Giải hệ phương trình tìm 𝑎, 𝑏 và 𝑐. 
K. Dạng 11: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴), 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵) và 
𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶) 
Phương pháp giải 
- Dạng tổng quát của phương trình của đường tròn (C) là 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
- Thay tọa độ A, B và C vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ta được 
hệ 3 phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏 và 𝑐. Giải hệ 3 phương trình trên ta được 𝑎, 𝑏 và 𝑐. 
L. Dạng 12: Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tìm tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn 
tính chất 𝑝. Kết quả là một đường tròn. 
Phương pháp giải 
- Gọi 𝑀(𝑥, 𝑦) là điểm thuộc tập hợp các điểm thỏa tính chất p. 
- Sử dụng tính chất 𝑝, ta thu được phương trình 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 
- Chứng tỏ rằng phương trình 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 là phương trình đường tròn. 
265 
Phụ lục 7: Phiếu khảo sát học sinh về bài tập đường tròn 
266 
Phụ lục 8: Phiếu khảo sát nhận định của GV về lời giải của HS 
267 
Phụ lục 9: Phiếu khảo sát HS (số 1) về elip 
Phụ lục 10: Phiếu khảo sát HS (số 2) về elip 
268 
Phụ lục 11: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán Heron tia sáng 
269 
Các chiến lược mong đợi có thể xuất hiện đối với HS: 
Chiến lược CL1 (chiến lược truyền thống): 
Gọi 𝐴′(2;−2) là điểm đối xứng của 𝐴 qua trục 𝑂𝑥 
Gọi 𝐶(𝑥; 0) là bất kì thuộc trục 𝑂𝑥. 
Ta có: 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐴′𝐶 + 𝐵𝐶 ≥ 𝐴′𝐵 (*) 
Dễ thấy (*) luôn đúng do bất đẳng thức tam giác và (𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) nhỏ nhất bằng 𝐴’𝐵 
khi và chỉ khi 𝐴, 𝐶 và 𝐵 thẳng hàng. 
Khi đó, đường thẳng 𝐴′𝐵 cắt trục 𝑂𝑥 tại điểm 𝐶 ቀ
7
2
; 0ቁ. 
Kết luận: điểm 𝐶 ቀ
7
2
; 0ቁ là điểm cần tìm 
Chiến lược CL2 (chiến lược đại số) 
Trên tia 𝑂𝑥 lấy điểm 𝐶 ቀ
7
2
; 0ቁ. Gọi 𝐶′(𝑥; 0) là điểm bất kì thuộc 𝑂𝑥. Cần chứng 
minh: 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 10, ∀𝑥 . 
Thật vậy, 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 10 
 √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10 
 √(𝑥 − 2)2 + 22 ≥ 10 − √(8 − 𝑥)2 + 62 (∗) 
Dễ thấy rằng (∗) là luôn đúng và dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3.5. 
Chiến lược CL3 (chiến lược hàm số) 
Đặt 𝐶(𝑥; 0), khi đó ta có: 
𝐴𝐶 = √(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2 
𝐵𝐶 = √(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2 
Nhu vậy, ta có hàm số 𝑓(𝑥) được xác định bằng tổng 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶: 
𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2 + √(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2 với 𝑥 ∈ [0; 8] 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) để tổng nhỏ nhất. 
𝑓′(𝑥) =
𝑥
√(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2
+
(𝑥 − 8)
√(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =
7
2
270 
Bảng biến thiên: 
𝑥 −∞ 
7
2
 +∞ 
𝑓′(𝑥) 0 
𝑓(𝑥) 
 10 
Theo bảng biến thiên ta có: 
 𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 =
7
2
Khi đó, 𝐶 ቀ
7
2
; 0ቁ 
Chiến lược CL4 (chiến lược hàm số) 
Đặt 𝐶𝐴1 = 𝑥, khi đó ta được: 
 𝐶𝐵1 = 6 − 𝑥; 𝐴𝐶 = √22 + 𝑥2; 𝐵𝐶 = √62 + (6 − 𝑥)2 
Như vậy ta có hàm số 𝑓(𝑥) được xác định bằng tổng khoảng cách AC và BC 
𝑓(𝑥) = √22 + 𝑥2 + √62 + (6 − 𝑥)2 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) để tổng nhỏ nhất. 
𝑓′(𝑥) =
𝑥
√22 + 𝑥2
+
−(6 − 𝑥)
√62 + (6 − 𝑥)2
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =
3
2
Bảng biến thiên: 
𝑥 −∞ 
3
2
 +∞ 
𝑓′(𝑥) 0 
𝑓(𝑥) 
 10 
Theo bảng biến thiên ta có: 𝑓(𝑥) = √22 + 𝑥2 + √62 + (6 − 𝑥)2 ≥ 10 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 =
3
2
Khi đó, 𝐶𝐴1 =
3
2
 suy ra 𝑂𝐶 =
7
2
. Do đó: 𝐶 ቀ
7
2
; 0ቁ 
271 
Phụ lục 12: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán lập phương trình 
đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước 
Các chiến lược mong đợi đối với HS có thể sử dụng để giải quyết nhiệm vụ lập 
phương trình đường tròn đi qua 3 điểm như sau: 
Chiến lược S1 (chiến lược sử dụng phương trình): Thay tọa độ của 3 điểm vào 
phương trình đường tròn ở dạng tổng quát và giải tìm các hệ số a, b và c 
Các bước giải minh họa: 
- Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C có dạng: 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, trong đó tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 
𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐. 
- Vì A, B, C cùng thuộc đường tròn nên, thay tọa độ 𝐴, 𝐵, 𝐶 vào phương trình 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ta được hệ phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐. 
- Giải hệ phương trình, ta được 𝑎, 𝑏 và 𝑐. Thử lại điều kiện, thay các giá trị 𝑎, 𝑏 và 
𝑐 vừa tìm được vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và kết luận. 
Chiến lược S2 (chiến lược sử dụng phương trình): Thay tọa độ của 3 điểm vào 
phương trình đường tròn ở cơ bản và giải tìm các hệ số 𝑎, 𝑏 và 𝑅2. 
Các bước giải minh họa: 
- Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 có dạng: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2, trong đó tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅. 
- Vì 𝐴, 𝐵, 𝐶 cùng thuộc đường tròn nên, thay tọa độ 𝐴, 𝐵, 𝐶 vào phương trình 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 ta được hệ phương trình 3 ẩn a, b, R. 
- Giải hệ phương trình, ta được 𝑎, 𝑏, 𝑅; 
- Thay các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑅 vừa tìm được vào phương trình 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 
và kết luận. 
Chiến lược S3 (Tìm tâm và bán kính): Vận dụng sự liên hệ giữa tâm và bán kính 
của đường tròn 
Các bước giải minh họa: 
- Gọi 𝐼(𝑎; 𝑏) là tâm đường tròn đi qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶; 
272 
- Giải hệ phương trình {
𝐼𝐴 = 𝐼𝐵
𝐼𝐴 = 𝐼𝐶
, tìm giá trị của 𝑎 và 𝑏; 
- Tính bán kính 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶; 
- Thay các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑅 vào (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 và kết luận 
Chiến lược S4 (Tìm tâm và bán kính): Đường trung trực của hai dây cung cắt 
nhau tại tâm của đường tròn 
Các bước giải minh họa: 
- Viết phương trình đường hai đường trung trực ứng với hai cạnh của tam giác 
- Tâm I là giao điểm của hai đường trung trực 
- Bán kính 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 
- Thay các giá trị a, b, R vào (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 và kết luận 
Chiến lược S5 (Tìm tâm và bán kính): Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
Các bước giải minh họa: 
- Viết phương trình đường thẳng 𝑑1 qua 𝐵 và vuông góc với 𝐴𝐵; 
- Viết phương trình đường thẳng 𝑑2 qua 𝐶 và vuông góc với 𝐶𝐴; 
- Xác định tọa độ giao điểm 𝐷 của 𝑑1 và 𝑑2. 
- Khi đó, 𝐴𝐷 là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 có tâm là trung 
điểm của 𝐴𝐷. 
* Trường hợp đặc biệt, khi tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 thì đường tròn đi qua 3 điểm 
𝐴, 𝐵 và 𝐶 có tâm là trung điểm của 𝐵𝐶, bán kính là 
𝐵𝐶
2
Chiến lược S6 (sử dụng phương trình): Chùm đường tròn 
Các bước giải minh họa: 
- Viết phương trình đường thẳng 𝐵𝐶 có dạng 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (1) 
- Viết phương trình đường tròn đường kính BC có dạng 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (2) 
- Chùm đường tròn đi qua 2 điểm 𝐵 và 𝐶 là 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 + 𝑘(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) = 0 (3 
- Tìm 𝑘. Chùm đường tròn đi qua điểm 𝐴, ta thay tọa độ điểm 𝐴 vào để tìm 𝑘 
- Thay 𝑘 vào (3), thu gọn ta được phương trình cần tìm.