Luận án Một số kỹ thuật chỉ dẫn cho giải thuật tiến hóa đa mục tiêu sử dụng mô hình đại diện cho các bài toán chi phí lớn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÕNG 
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ 
---------------------------------- 
NGUYỄN ĐỨC ĐỊNH 
MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỈ DẪN CHO GIẢI THUẬT 
TIẾN HÓA ĐA MỤC TIÊU SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐẠI DIỆN 
CHO CÁC BÀI TOÁN CHI PHÍ LỚN 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC 
Hà Nội - 2021 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÕNG 
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ 
---------------------------------- 
NGUYỄN ĐỨC ĐỊNH 
MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỈ DẪN CHO GIẢI THUẬT 
TIẾN HÓA ĐA MỤC TIÊU SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐẠI DIỆN 
CHO CÁC BÀI TOÁN CHI PHÍ LỚN 
Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học 
Mã số: 9 46 01 10 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC 
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: 
1. PGS.TS. Nguyễn Xuân Hoài 
2. TS. Thái Trung Kiên 
Hà Nội - 2021 
i 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, 
kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố 
trong bất kì công trình khoa học nào khác, các dữ liệu tham khảo được trích 
dẫn đầy đủ. 
 Hà Nội, ngày tháng năm 2021 
Tác giả luận án 
Nguyễn Đức Định 
ii 
LỜI CẢM ƠN 
Trước tiên, tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Xuân 
Hoài và TS. Thái Trung Kiên, đã tận tình định hướng nghiên cứu, chỉ bảo, 
hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận án. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn Thủ trưởng Viện Khoa học và Công nghệ 
quân sự, Phòng Đào tạo/ Viện Khoa học và Công nghệ quân sự, đã tạo điều 
kiện hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận án. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn Thủ trưởng Viện Công nghệ thông tin, các 
phòng, ban của Viện Công nghệ thông tin đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện 
thuận lợi cho tôi hoàn thành bản luận án. 
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, người thân, đồng 
nghiệp cùng bạn bè, đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Long, đã luôn quan tâm, cổ 
vũ, động viên, góp ý và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận án này. 
iii 
MỤC LỤC 
Trang 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU .................................................................................. v 
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... vii 
DANH MỤC CÁC BẢNG ....................................................................................... x 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................................. xi 
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 
Chương 1. TỔNG QUAN GIẢI THUẬT TIẾN HÓA ĐA MỤC TIÊU SỬ 
DỤNG MÔ HÌNH ĐẠI DIỆN CHO BÀI TOÁN CHI PHÍ LỚN ......................... 8 
1.1. Tổng quan bài toán chi phí lớn .............................................................. 8 
 Các khái niệm .................................................................................. 8 1.1.1.
 Bài toán chi phí lớn ....................................................................... 11 1.1.2.
1.2. Kỹ thuật chỉ dẫn cho giải thuật tiến hóa đa mục tiêu ........................... 12 
 Giải thuật tiến hóa đa mục tiêu ..................................................... 12 1.2.1.
 Một số kỹ thuật chỉ dẫn cho giải thuật tiến hóa đa mục tiêu ........ 16 1.2.2.
1.3. Giải thuật tiến hóa đa mục tiêu sử dụng mô hình đại diện .................. 19 
 Mô hình đại diện ........................................................................... 19 1.3.1.
 Sơ đồ giải thuật SAEA .................................................................. 21 1.3.2.
 Các giải thuật SAEA điển hình ..................................................... 23 1.3.3.
1.4. Một số vấn đề tồn tại ............................................................................ 36 
 Một số vấn đề tồn tại của giải thuật SAEA................................... 36 1.4.1.
 Nội dung dự kiến nghiên cứu của luận án .................................... 38 1.4.2.
1.5. Kết luận Chương 1 ............................................................................... 39 
Chương 2. ĐỀ XUẤT KỸ THUẬT CHỈ DẪN CHO GIẢI THUẬT K-RVEA .. 40 
2.1. Giải thuật M-K-RVEA chỉ dẫn tự động ............................................... 40 
 Xác định tương quan giữa thông tin tham chiếu và thông tin 2.1.1.
điều khiển ........................................................................................................ 40 
 Giải thuật M-K-RVEA .................................................................. 44 2.1.2.
2.2. Giải thuật iK-RVEA chỉ dẫn tương tác ................................................ 49 
 Xác định thông tin tham chiếu ...................................................... 49 2.2.1.
 Giải thuật iK-RVEA ..................................................................... 51 2.2.2.
2.3. Thử nghiệm và đánh giá ....................................................................... 55 
iv 
 Kịch bản thử nghiệm ..................................................................... 55 2.3.1.
 Kết quả thử nghiệm ....................................................................... 59 2.3.2.
 So sánh với một số giải thuật khác ............................................... 71 2.3.3.
 Đánh giá chung ............................................................................. 73 2.3.4.
2.4. Kết luận Chương 2 ............................................................................... 75 
Chương 3. ĐỀ XUẤT KỸ THUẬT CHỈ DẪN CHO GIẢI THUẬT CSEA ...... 76 
3.1. Giải thuật M-CSEA chỉ dẫn tự động .................................................... 76 
3.2. Giải thuật iCSEA chỉ dẫn tương tác ..................................................... 81 
3.3. Thử nghiệm và đánh giá ....................................................................... 85 
 Kịch bản thử nghiệm ..................................................................... 85 3.3.1.
 Kết quả thử nghiệm ....................................................................... 87 3.3.2.
 So sánh với một số giải thuật khác ............................................... 98 3.3.3.
 Đánh giá chung ........................................................................... 100 3.3.4.
3.4. Kết luận Chương 3 ............................................................................. 102 
Chương 4. ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH TÁC CHIẾN .. 103 
4.1. Bài toán lập kế hoạch tác chiến cho lực lượng tác chiến điện tử ....... 103 
 Đặt vấn đề ................................................................................... 103 4.1.1.
 Mô tả bài toán ............................................................................. 106 4.1.2.
 Mô hình hóa bài toán .................................................................. 108 4.1.3.
4.2. Ứng dụng giải thuật sử dụng kỹ thuật chỉ dẫn để giải bài toán ......... 112 
 Thiết lập thông số thử nghiệm .................................................... 112 4.2.1.
 Kết quả thử nghiệm ..................................................................... 116 4.2.2.
4.3. Nhận xét, đánh giá .............................................................................. 120 
4.4. Kết luận Chương 4 ............................................................................. 121 
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 122 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ .................. 124 
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 125 
PHỤ LỤC .............................................................................................................. 134 
v 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 
M
T
 Ma trận chuyển vị của ma trận M 
x Véc-tơ biến quyết định 
f Véc-tơ hàm mục tiêu 
z Véc-tơ mục tiêu 
n Số biến (số chiều của không gian quyết định) 
k Số mục tiêu (số chiều của không gian mục tiêu) 
S Không gian quyết định 
Z Không gian mục tiêu 
P Quần thể chính 
Q Quần thể con cái 
L Quần thể ghép 
A, A1, A2 Tập lưu trữ ngoài 
NP Kích thước quần thể chính 
NPOF Kích thước của lớp tối ưu Pareto 
ngen Số thế hệ đã trải qua 
Ngen Tổng số thế hệ 
nnon Số giải pháp không bị trội Pareto 
Cprb Mức độ phức tạp của bài toán 
Qt Tham số tiến trình thời gian 
pt Tham số điều khiển 
p0 Điểm gieo 
pstart Cận dưới của tham số điều khiển 
pend Cận trên của tham số điều khiển 
FE Số lần đánh giá độ thích nghi (trong trường hợp cụ thể giải thuật 
K-RVEA và CSEA thì FE là số lần tính toán hàm gốc) 
FEmax Số lần đánh giá độ thích nghi tối đa (trong trường hợp cụ thể giải 
thuật K-RVEA và CSEA thì FEmax là số lần tính toán hàm gốc tối đa) 
wmax Số thế hệ sử dụng mô hình Kriging 
w
t
max Số thế hệ sử dụng mô hình Kriging ở bước t (được điều chỉnh tự động) 
w
nd
max Số thế hệ sử dụng mô hình Kriging (do người quyết định tự xác định) 
m Số véc-tơ tham chiếu 
vi 
u Số cá thể được chọn để huấn luyện mô hình Kriging 
NI Số cá thể tối đa được duy trì trong A1 
 Tham số quyết định sử dụng APD hay sử dụng thông tin không 
chắc chắn từ Kriging 
Vt Tập véc-tơ tham chiếu tại thế hệ t 
Va Tập véc-tơ tham chiếu thích ứng 
Va
a
 Tập véc-tơ tham chiếu thích ứng hoạt động 
Va
ia
 Tập véc-tơ tham chiếu thích ứng không hoạt động 
Vf Tập véc-tơ tham chiếu cố định 
Vf
a
 Tập véc-tơ tham chiếu cố định hoạt động 
Vf
ia
 Tập véc-tơ tham chiếu cố định không hoạt động 
K Số giải pháp tham chiếu xác định biên phân lớp 
Kt Số giải pháp tham chiếu xác định biên phân lớp (được điều chỉnh 
tự động) 
Knd Số giải pháp tham chiếu xác định biên phân lớp (do người quyết 
định tự xác định) 
gmax Số thế hệ sử dụng mạng FNN 
H Số nơ-ron lớp ẩn của mạng FNN 
PR Tập giải pháp tham chiếu để làm biên phân lớp 
Dtrain Tập giải pháp để huấn luyện mạng FNN 
Dtest Tập giải pháp để kiểm tra mạng FNN 
ND Kích thước tập Dtrain 
NT Kích thước tập Dtest 
O Độ phức tạp tính toán của giải thuật 
Cf Độ phức tạp tính toán cực đại của các hàm gốc 
CK Độ phức tạp tính toán mô hình 
vii 
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
MOP Bài toán tối ưu đa mục tiêu Multi-Objective Problem 
MOEA Giải thuật tiến hóa đa mục 
tiêu 
 Multi-Objective Evolutionary 
Algorithm 
POF Lớp tối ưu Pareto Pareto Optimal Front 
GD Khoảng cách thế hệ Generational Distance 
IGD Khoảng cách thế hệ ngược Inverse Generational Distance 
HV Siêu thể tích Hypervolume 
DTLZ Lớp bài toán do K. Deb, L. 
Thiele, M. Laumanns, E. 
Zitzler đề xuất 
 Deb-Thiele-Laumanns-Zitzler 
Problems 
LHS Lấy mẫu siêu khối Latinh Latin Hypercube Sampling 
DMEA Giải thuật tiến hóa đa mục 
tiêu dựa trên hướng 
 Direction-based Multi-Objective 
Evolutionary Algorithm 
DMEA-II Giải thuật tiến hóa đa mục 
tiêu dựa trên hướng II (cải 
tiến của DMEA) 
 Direction-based Multi-
Objective Evolutionary 
Algorithm II 
MOGA 
Giải thuật di truyền đa mục 
tiêu 
 Multi-Objective Genetic 
Algorithm 
MOEA/D Giải thuật tiến hóa đa mục 
tiêu dựa trên phân rã 
 Multi-Objective Evolutionary 
Algorithm-based on 
Decomposition 
NPGA Giải thuật di truyền sử dụng 
kỹ thuật nich trên Pareto 
 Niched-Pareto  ... ve method for 
multi-objective evolutionary algorithms", In The 4th International 
Conference on Knowledge and Systems Engineering (KSE 2012), 
Danang, Vietnam. 
[60]. Nguyen L., Bui L. T. (2014), "A ray based interactive method for 
directionbased multi-objective evolutionary algorithm", In Knowledge 
and Systems Engineering, volume 245 of Advances in Intelligent 
Systems and Computing, pp.173-184, Springer International Publishing. 
[61]. Nguyen L., Bui L. T. (2014), "The effects of different selection 
schemes on the direction based multi-objective evolutionary 
algorithm", In The first Nafosted Conference on Information and 
Computer Science 2014 (NICS’14), Ha Noi, Vietnam. 
[62]. Nguyen L., Bui L. T., Abbass H. (2013), "A new niching method for 
the direction-based multi-objective evolutionary algorithm", In 2013 
IEEE Symposium Series on Computational Intelligence, Singapore. 
131 
[63]. Nguyen L., Bui L. T., Abbass H. (2014), "DMEA-II: the direction-
based multi-objective evolutionary algorithm-II", Soft Computing, 
18(11), pp.2119-2134. 
[64]. Palacios F., Alonso J. J., Colonno M., Hicken J., Lukaczyk T. (2012), 
"Adjoint-based method for supersonic aircraft design using equivalent 
area distribution", In 50th AIAA Aerospace Sciences Meeting including 
the New Horizons Forum and Aerospace Exposition (p. 269). 
[65]. Pan L., He C., Tian Y., Wang H., Zhang X., Jin Y. (2018), "A 
classification-based surrogate-assisted evolutionary algorithm for 
expensive many-objective optimization", IEEE Transactions on 
Evolutionary Computation, 23(1), pp.74-88. 
[66]. Pilat M., Neruda R. (2011), "Lamm-mma: Multi-objective memetic 
algorithm with local aggregate meta-model", In Proceedings of the 
13th Annual Conference Companion on Genetic and Evolutionary 
Computation, pp. 79-80, ACM. 
[67]. Pilat M., Neruda R. (2012), "An evolutionary strategy for surrogate-
based multiobjective optimization", In Evolutionary Computation 
(CEC), 2012 IEEE Congress on, pp. 1-7, IEEE. 
[68]. Pilat M., Neruda R. (2013), "Aggregate meta-models for evolutionary 
multi-objective and many-objective optimization", Neurocomputing, 
116, pp.392-402. 
[69]. Regis R. G. (2020), "High-dimensional constrained discrete multi-
objective optimization using surrogates", In International Conference 
on Machine Learning, Optimization and Data Science, pp. 203-214, 
Springer, Cham. 
[70]. Rostami S., Shenfield A. (2012), "CMA-PAES: Pareto archived 
evolution strategy using covariance matrix adaptation for multi-
objective optimisation", In 2012 12th UK Workshop on Computational 
Intelligence (UKCI), pp.1-8, IEEE. 
[71]. Sakawa M. (2012), Genetic algorithms and fuzzy multi-objective 
optimization, Vol. 14, Springer Science & Business Media. 
[72]. Schutze O., Lara A., Coello C. A. C. (2011), "On the influence of the 
number of objectives on the hardness of a multiobjective optimization 
problem", IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 15(4), pp. 
444-455. 
132 
[73]. Shim V. A., Tan K. C., Chia J. Y., Mamun A. A. (2013), "Multi-
objective optimization with estimation of distribution algorithm in a 
noisy environment", Evolutionary Computation, 21(1), pp.149-177. 
[74]. Shimoyama K., Sato K., Jeong S., Obayashi S. (2012), "Comparison of 
the criteria for updating kriging response surface models in multi-
objective optimization", In 2012 IEEE Congress on Evolutionary 
Computation, pp.1-8, IEEE. 
[75]. Sindhya K., Ruiz A. B., Miettinen K. (2011), "A preference based 
interactive evolutionary algorithm for multi-objective optimization: 
PIE", In International Conference on Evolutionary Multi-criterion 
Optimization, pp. 212-225, Springer, Berlin, Heidelberg. 
[76]. Singh H. K., Isaacs A., Ray T. (2011), "A Pareto corner search 
evolutionary algorithm and dimensionality reduction in many-objective 
optimization problems", IEEE Transactions on Evolutionary 
Computation, 15(4), pp.539-556. 
[77]. Soleymani F., Barfeie M., Haghani F. K. (2018), "Inverse multi-
quadric RBF for computing the weights of FD method: Application to 
American options", Communications in Nonlinear Science and 
Numerical Simulation, 64, pp.74-88. 
[78]. Tian Y., Cheng R., Zhang X., Jin Y. (2017), “PlatEMO: A Matlab 
platform for evolutionary multi-objective optimization”, IEEE 
Computational Intelligence Magazine, 12(4), pp.73-87. 
[79]. Vachhani V. L., Dabhi V. K., Prajapati H. B. (2015), "Survey of multi-
objective evolutionary algorithms", In 2015 International Conference 
on Circuits, Power and Computing Technologies (ICCPCT-2015), 
pp.1-9, IEEE. 
[80]. Vallerio M., Hufkens J., Impe J. F. M. V., Logist F. (2015), "An 
interactive decision-support system for multi-objective optimization of 
nonlinear dynamic processes with uncertainty", Expert Systems with 
Applications, 42(21), pp.7710-7731. 
[81]. Vapnik V. (2013), The nature of statistical learning theory, Springer 
science & Business media. 
[82]. Wang M., Wright J., Brownlee A., Buswell R. (2014), "A comparison 
of approaches to stepwise regression analysis for variables sensitivity 
measurements used with a multi-objective optimization problem", In 
133 
ASHRAE 2014 Annual Conference, ASHRAE. 
[83]. Wang X., Jin Y., Schimitt S., Olhofer M. (2020), "An adaptive 
Bayesian approach to surrogate-assisted evolutionary multi-objective 
optimization", Information Sciences, 519, pp. 317-331. 
[84]. Yang F., Kwan C., Chang C. (2007), "A differential evolution variant 
of NSGA II for real world multiobjective optimization", Proceeding 
ACAL’07 Proceedings of the 3rd Australian Conference on Progress in 
Artificial Life, pp. 345-356. 
[85]. Yevseyeva I., Basto-Fernandes V., Mendez J. R. (2011), "Survey on 
anti-spam single and multi-objective optimization", In International 
Conference on Enterprise Information Systems, pp.120-129, Springer, 
Berlin, Heidelberg. 
[86]. Zhang Q., Li H. (2007), “MOEA/D: A Multiobjective Evolutionary 
Algorithm Based on Decomposition”, IEEE Transactions on 
Evolutionary Computation, Vol. 11, No. 6. 
[87]. Zhao M., Zhang K., Chen G., Zhao X., Yao C., Sun H., Huang Z., Yao 
J. (2020), "A surrogate-assisted multi-objective evolutionary algorithm 
with dimension-reduction for production optimization", Journal of 
Petroleum Science and Engineering, 192, 107192. 
[88]. Zhao S., Suganthan P. N., Liu W., Tiwari S., Zhang Q. (2009), Multi-
objective optimization test instances for the CEC 2009 special session 
and competition, CEC. 
[89]. Zitzler E., Thiele L., Deb K. (2000), "Comparison of multi-objective 
evolutionary algorithms: Emprical results", Evolutionary Computation, 
8(1), pp.173-195. 
[90]. Zitzler E., Laumanns M., Thiele L. (2001), "SPEA2: Improving the 
strength pareto evolutionary algorithm for multiobjective optimization", 
Evolutionary Methods for Design Optimization and Control with 
Applications to Industrial Problems, pp.95-100, International Center 
for Numerical Methods in Engineering (CMINE). 
134 
PHỤ LỤC 
Các bài toán mẫu DTLZ sử dụng trong thử nghiệm 
Bài toán DTLZ1: 
1 1 2 1
1
( ) ... (1 ( ))
2
k kf x x x x g x 
2 1 2 1
1
( ) ...(1 )(1 ( ))
2
k kf x x x x g x 
, 
1 1 2
1
( ) (1 )(1 ( ))
2
k kf x x x g x 
1
1
( ) (1 )(1 ( ))
2
M kf x x g x 
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
2( ) 100 | | ( 0.5) (20 ( 0.5))
i k
k k i i
x x
g x x x cos x 
 
Các giải pháp tối ưu Pareto tiến tới 
*
0.5kx và 
giá trị hàm mục tiêu trên siêu mặt phẳng tuyến 
tính 
1
0.5
k
ii
f
  
Bài toán DTLZ2: 
1 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )cos( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
2 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )sin( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
3 1 2 2( ) (1 ( ))cos( )cos( )...sin( )
2 2 2
k kf x g x x x x
, 
1 1 2( ) (1 ( ))cos( )sin( )
2 2
k kf x g x x x
1( ) (1 ( ))sin( )
2
k kf x g x x
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
2( ) ( 0.5)
i k
k i
x x
g x x
 
Các giải pháp tối ưu Pareto hướng đến xi = 0.5 
với tất cả , , 1,...,i kx x i k k n  và các giá trị 
135 
hàm mục tiêu phải thỏa mãn: 2
1
( ) 1
k
ii
f
  
Bài toán DTLZ3: 
1 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )cos( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
2 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )sin( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
3 1 2 2( ) (1 ( ))cos( )cos( )...sin( )
2 2 2
k kf x g x x x x
, 
1 1 2( ) (1 ( ))cos( )sin( )
2 2
k kf x g x x x
1( ) (1 ( ))sin( )
2
k kf x g x x
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
2( ) 100 | | ( 0.5) (20 ( 0.5))
i k
k k i i
x x
g x x x cos x 

Lưu ý rằng chỉ nên để | | 10kl x và g*=1 
Bài toán DTLZ4: 
1 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )cos( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
2 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )sin( )
2 2 2 2
k k kf x g x x x x x
3 1 2 2( ) (1 ( ))cos( )cos( )...sin( )
2 2 2
k kf x g x x x x
, 
1 1 2( ) (1 ( ))cos( )sin( )
2 2
k kf x g x x x
1( ) (1 ( ))sin( )
2
k kf x g x x
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
2( ) ( 0.5)
i k
k i
x x
g x x
 
Lưu ý rằng chỉ nên để = 100 
136 
Bài toán DTLZ5: 
1 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )cos( )
2 2 2 2
k k kf x g x
    
2 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )sin( )
2 2 2 2
k k kf x g x
    
3 1 2 2( ) (1 ( ))cos( )cos( )...sin( )
2 2 2
k kf x g x
   
, 
1 1 2( ) (1 ( ))cos( )sin( )
2 2
k kf x g x
  
1( ) (1 ( ))sin( )
2
k kf x g x
 
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
(1 2 ( ) )
4(1 ( ))
ki i
k
g x
g
x
x
 
 với i =2,3,  ,k-1 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
2( ) ( 0.5)
i k
k i
x x
g x x
 
Bài toán DTLZ6: 
1 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )cos( )
2 2 2 2
k k kf x g x
    
2 1 2 2 1( ) (1 ( ))cos( )cos( )...cos( )sin( )
2 2 2 2
k k kf x g x
    
3 1 2 2( ) (1 ( ))cos( )cos( )...sin( )
2 2 2
k kf x g x
   
, 
1 1 2( ) (1 ( ))cos( )sin( )
2 2
k kf x g x
  
1( ) (1 ( ))sin( )
2
k kf x g x
 
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
(1 2 ( ) )
4(1 ( ))
ki i
k
g x
g
x
x
 
 với i =2,3,  , k-1 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
0.1( )
i k
k i
x x
g x x
 
137 
Bài toán DTLZ7: 
1 1 1( )f x x 
2 2 2( )f x x 
, 
1 1 1( )k k kf x x 
1 2 1( ) (1 ( )) ( , ,..., , )k k kf x g x h f f f g 
Với 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n 
Trong đó: 
1( , ,..., )k k k nx x x x 
9
( ) 1
| |
i k
k i
x xk
g x x
x 
  
1
1 2 1
1
( , ,..., , ) (1 sin(3 ))
1
k
i
k i
i
f
h f f f g k f
g
 
Bài toán DTLZ8: 
( 1)
1
( )
n
j
k
j i
n
i j
k
f x x
n
k
 
với j = 1,2, , k 
trong đó: 
( ) ( ) 4 ( ) 1 0j k jg x f x f x 
 với j=1,2,., (k-1) 
1
, 1
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1 0min
k
k k i j
i j
g x f x f x f x
Với 0 ≤ xi ≤ 1, và i = 1, 2,, n 
Bài toán DTLZ9: 
0.1
( 1)
( )
n
j
k
j i
n
i j
k
f x x
  
với j = 1,2, , k 
trong đó: 
2 2( ) ( ) ( ) 1 0j M jg x f x f x với j=1,2,., (k-1) 
với 0 ≤ xi ≤ 1, và i = 1, 2,, n