Luận án Ứng dụng vật liệu áp điện trong đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
LƯU QUỲNH HƯỜNG 
ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ 
TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
Hà Nội –2021 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
LƯU QUỲNH HƯỜNG 
ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ 
TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 9 52 01 01 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm 
 2. TS. Trần Thanh Hải 
Hà Nội – 2021 
i 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy hướng dẫn khoa học 
là GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm và TS. Trần Thanh Hải đã tận tâm hướng dẫn khoa 
học, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án này. 
Trong quá trình thực hiện luận án, tác giả đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, 
tạo điều kiện thuận lợi của lãnh đạo và tập thể cán bộ, các nhà khoa học trong Học 
viện Khoa học và Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và công nghệ 
Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó. 
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Thủy lợi, lãnh 
đạo Khoa Kỹ thuật tài nguyên nước, Bộ môn Kỹ thuật hạ tầng đã tạo điều kiện, luôn 
quan tâm và động viên trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thiện luận án 
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, đồng 
nghiệp đã động viên ủng hộ tác giả trong thời gian thực hiện luận án. 
 Tác giả luận án 
 Lưu Quỳnh Hường 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết 
quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công 
trình nào khác. 
 Tác giả luận án 
 Lưu Quỳnh Hường 
iii 
MỤC LỤC 
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i 
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................. v 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................. viii 
DANH MỤC BẢNG ................................................................................................. xi 
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .............................. 4 
1.1. Sơ lược về vật liệu áp điện và ứng dụng .............................................................. 4 
1.2. Ứng dụng vật liệu áp điện trong đời sống và kỹ thuật. ........................................ 5 
1.3. Tổng quan các nghiên cứu về vật liệu và kết cấu áp điện .................................... 7 
1.4. Ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán kỹ thuật công trình ........................ 10 
1.5. Tổng quan về dao động và chẩn đoán đoán vết nứt trong dầm FGM ................ 15 
1.6. Đặt vấn đề nghiên cứu ........................................................................................ 16 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................................... 18 
CHƯƠNG 2.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM NGUYÊN VẸN CÓ MIẾNG ÁP 
ĐIỆN........................ ................................................................................................. 19 
2.1. Mô hình dao động của dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện ........................... 19 
2.2. Mô hình độ cứng động của phần tử dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện....... 24 
2.3. Tần số dao động riêng của dầm FGM nguyên vẹn với miếng áp điện - Kết quả 
số. ....................................................................................................................... 26 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................................... 45 
CHƯƠNG 3.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN ............ 46 
3.1. Dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện .................................................. 46 
3.1.1 Mô hình vết nứt trong dầm FGM có lớp áp điện ...................................... 46 
3.1.2 Nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm FGM bị nứt có lớp áp 
điện. ................................................................................................................ 48 
3.2. Dao động của dầm đồng nhất bị nứt có lớp áp điện ........................................... 50 
3.2.1 Cơ sở lý thuyết dao động của dầm áp điện có vết nứt .............................. 50 
iv 
3.2.2 Kết quả phân tích số .................................................................................. 58 
3.3. Phân tích dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện ................................... 62 
3.3.1 Thuật toán và chương trình tính toán ........................................................ 62 
3.3.2 Kết quả số .................................................................................................. 63 
CHƯƠNG 4.CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM FGM CÓ LỚP ÁP ĐIỆN 79 
4.1. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số riêng ...................... 79 
4.2. Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM-áp điện ................................ 82 
4.2.1 Cơ sở dữ liệu cho việc chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức tần số .. 82 
4.2.2 Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức điện tích cảm biến 
dao động ............................................................................................................. 88 
4.3. Kết quả thử nghiệm số ....................................................................................... 92 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 ........................................................................................ 100 
KẾT LUẬN CHUNG .............................................................................................. 101 
DANH SÁCH CÁC CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG 
LUẬN ÁN ............................................................................................................... 102 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 103 
v 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
 𝛽33
𝑝
 Hằng số điện môi của lớp áp điện (m/F) 
,a b  Độ lớn của vết nứt trong dầm đồng nhất bị nứt có lớp áp điện 
1 2,  Độ lớn của vết nứt trong dầm FGM bị nứt có lớp áp điện 
∈ Điện trường của lớp áp điện (C/m2) 
𝜀𝑥 , 𝛾𝑥𝑧 , Là các thành phần biến dạng 
 Góc xoay của mặt cắt ngang (độ). 
𝜅 Hệ số hiệu chỉnh hình học. 
𝜆 Tham số tần số riêng 
𝛱𝑏 , 𝛱𝑝 Tương ứng là năng lượng biến dạng của dầm và lớp áp điện. 
ρ Mật độ khối (kg/m3). 
𝜎𝑥 , 𝜏 Là các thành phần ứng suất 
 Tần số dao động (rad/s) 
b bA bxh Diện tích mặt cắt ngang của dầm (m
2). 
p pA bxh Diện tích mặt cắt ngang của lớp áp điện (m
2) 
 a Độ sâu vết nứt (m) 
, bb h Tương ứng là chiều rộng, chiều cao tiết diện dầm (m). 
𝐶11
𝑝
 Mô đun đàn hồi của lớp áp điện (GPa) 
CC Dầm ngàm hai đầu 
CF Dầm một đầu ngàm một đầu tự do 
Cof Hệ số tương quan. 
Cov Tiêu chuẩn tương quan. 
𝐷 Độ dịch chuyển (mật độ điện tích) của lớp áp điện 
𝑫𝑒(𝜔) Ma trận độ cứng động của phần tử dầm FGM Timoshenko 
vi 
DSM Phương pháp độ cứng động lực. 
E Mô đun đàn hồi (MPa). 
e Vị trí vết nứt (m) 
EMI Phương pháp trở kháng cơ điện. 
FGM Kết cấu làm từ vật liệu có cơ lý tính biến thiên liên tục theo 1 
hướng hoặc nhiều hướng. 
FRF Hàm đáp ứng tần số. 
G Mô đun trượt (GPa). 
ℎ13 Hằng số áp điện của lớp áp điện (V/m) 
ℎ0 Khoảng cách từ mặt phẳng giữa dầm đến mặt phẳng trung hòa 
(m). 
ph Chiều cao của lớp áp điện 
𝐼𝑏 , 𝐼𝑝 Tương ứng là mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm và của 
lớp áp điện (m4) 
( )I  Dòng điện (A). 
L Chiều dài dầm (m). 
M(x) Mô men uốn tại mặt cắt x 
MAPD Sai số tuyệt đối. 
MPC Điện tích cảm biến dao động 
N(x) Lực dọc trục tại mặt cắt x 
n Chỉ số phân bố vật liệu 
{𝑷𝑒(𝜔)} Vectơ lực nút của một phần tử dầm 
PTHH Phần tử hữu hạn. 
PVDF Polime áp điện. 
PZT Gốm áp điện. 
vii 
Q Điện tích cảm biến dao động của lớp áp điện 
RMSD Tiêu chuẩn trung bình bình phương. 
SS Dầm tựa đơn hai đầu 
𝑇𝑏 , 𝑇𝑝 Tương ứng là động năng của dầm và của lớp áp điện. 
𝑻𝑒 Ma trận định vị của phần tử e 
{𝑼𝑒(𝜔)} Vectơ chuyển vị nút của một phần tử dầm 
𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị dọc trục của một điểm trong mặt cắt ngang tại x (m). 
𝑢0(𝑥, 𝑡) chuyển vị dọc trục của một điểm trên mặt phẳng trung hòa (m). 
( )V  Điện áp (V) 
𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị ngang của một điểm trong mặt cắt ngang tại x (m). 
𝑤0(𝑥, 𝑡) chuyển vị ngang của một điểm trên mặt phẳng trung hòa (m). 
Y( ) Độ dẫn (S/cm). 
Z( ) Trở kháng (Ω). 
viii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 1. 1. Các hiệu ứng áp điện .................................................................................. 4 
Hình 1. 2. Các ứng dụng của vật liệu áp điện trong đời sống ..................................... 6 
Hình 2. 1. Phần tử dầm FGM có lớp áp điện ............................................................19 
Hình 2. 2. Các lực và chuyển vị nút của phần tử dầm ..............................................25 
Hình 2. 3. Mô hình dầm FGM có miếng áp điện ......................................................26 
Hình 2.4 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết tại các đầu dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay 
đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ..............................................................................35 
Hình 2.4 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm SS với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi 
(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ....................................................................................36 
Hình 2.4 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm SS khi chỉ số gradient của vật 
liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................37 
Hình 2.5 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết tại đầu ngàm của dầm CC khi chỉ số gradient của vật 
liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................38 
Hình 2.5 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm CC với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi 
(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ....................................................................................39 
Hình 2.5 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối củ ... 351-378. 
[39] W.S. Hwang, H.C. Park, Finite element modeling of piezoelectric sensors and 
actuators, AIAA Journal, 1993, 31 (5), 930-937. 
106 
[40] K.Y. Lam, X.Q. Peng, G.R. Liu, J.N. Reddy, A finite element model for 
piezoelectric composite laminates, Smart Material and Structures, 1997, 6, 583-
591. 
[41] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T, A smoothed four-node 
piezoelectric element for analysis of two-dimensional smart structures, 
Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2008, 23 (2), 209-222. 
[42] U. Lee, D. Kim, I. Park, Dynamic modeling and analysis of the PZT-bonded 
composite Timoshenko beams: Spectral element method, Journal of Sound and 
Vibration, 2013, 332 (6), 1585-1609. 
[43] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phương pháp độ cứng động lực trong 
phân tích kết cấu, Nxb Xây dựng, 2018, Hà Nội. 
[44] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static and dynamic analysis of laminated 
composite plates with integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 
2008, 30 (1), 55-66. 
[45] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Finite element modeling and experimental study 
on static deflection and vibration of piezoelectric composite plates with 
integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 2010, 32 (2), 65-96,. 
[46] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static behavior and vibration control of 
piezoelectric cantilever composite plates and comparison with experiment, 
Computational Material Science, 2010, 49 (4), 276-280. 
[47] Tran Huu Quoc, Vu Van Tham, Tran Minh Tu, Optimal placement and active 
control of composite plates integrated with piezoelectric sensor/actuator pairs, 
Vietnam Journal of Science and Technology, 2018, 56 (1), 113-126. 
[48] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang, Nonlinear dynamic and 
vibration analysis of piezoelectric eccentrically stiffened FGM plates in thermal 
environment, International Journal of Mechanical of Sciences, 2016, 115, 711-
722. 
[49] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Nonlinear thermo-mechanical dynamic 
analysis and vibration of higher order shear deformable piezoelectric 
functionally graded material sandwich plates resting on elastic foundations, 
Journal of Sandwich Structures and Materials, 2016, 20 (2), 191-218. 
[50] Nguyen-Van H., Le Thong, Mai-Duy N., Tran-Cong T., Nodal integration finite 
element techniques for analysis of piezoelectric solids, The International 
Conference on Computational Solid Mechanics (CSM2008), 2008, Ho Chi 
Minh City -Vietnam. 
107 
[51] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T., Analysis of piezoelectric solids 
with an efficient node-based smoothing element, The 8th World Congress on 
Computational Mechanics (WCCM8) and 5th European Congress on 
Computational Methods in Applied Sciences and Engineering 
(ECCOMAS2008), 2008, Venice-Italy. 
[52] H. A. Winston, F. Sun, B. S. Annigeri, Structural Health Monitoring with 
Piezoelectric Active Sensors, Transactions of ASME, Journal of Engineering 
for Gas Turbines and Power, 2001, 123, 353-358. 
[53] G. Park, H. Sohn, C.R. Farrar and D.I. Inman, Overview of piezoelectric 
Impedance-based Health Monitoring and Path Forward, The Shock and 
Vibration Digest, 2003, 35 (6), 451-463. 
[54] S. Bhalla, C.K. Soh, Progress in Structural Health Monitoring and Non-
destructive Evaluation Using Piezo-impedance Transducers, Smart Materials 
and Structures: New Research, 2006, 6, 177-228. 
[55] V. Giurgiutiu, Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active 
Sensors, Oxford: Academic Press, 2007. 
[56] W.H. Duan, S.T. Quek, Q. Wang, Applications of piezoelectric materials in 
structural health monitoring and repair: Selected research examples, Materials, 
2010, 3 (12), 5169-5194. 
[57] G. Huang, F. Song and X. Wang, Quantitative Modeling of Coupled Piezo-
Elasto-dynamic Behavior of Piezoelectric Actuators bonded to an Elastic 
Medium for Structural Health Monitoring: A Review, Sensor, 2010, 10 (4), 
3681-3702. 
[58] W.S. Na and J. Baek, A Review of the Piezoelectric Electromechanical 
Impedance Based Structural Health Monitoring Technique for Engineering 
Structures, Sensor, 2018, 18 (5), 18pp. 
[59] Z. Shu, Application of Piezoelectric Material in Structural Health Monitoring 
of Civil Engineering Structure, Chemical Engineering Transaction, 2017, 59, 
523-528,. 
[60] S.T. Quek, Q. Wang, L. Zhang, K.H. Ong, Practical issues in the detection of 
damage in beam using wavelet, Smart Material and Structures, 2001, 10n (5), 
1009-1017. 
[61] S. Zhao, M.Wu, Q. Wang, Crack Identification through scan-tuning of 
vibration characteristics using piezoelectric material, Smart Materials and 
Structures, 2017, 26 (2), 12pp. 
108 
[62] S. Zhao, M.Wu, Q. Wang, Damage Detection of Beams by a Vibration 
Characteristic Tuning Technique Through an Optimal Design of Piezoelectric 
Layers, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2016, 
16 (10), 15pp. 
[63] S. Zhao, N. Wu and Y. Cheng, High sensitivity damage detection with vibration 
mode shape tuning through the optimal design of piezoelectric actuators, 
Proceedings of ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress 
and Exposition, 2015, Texas. 
[64] L. Jiang, J. Tang, K. Wang, An enhanced frequency-shift-based damage 
identification method using tunable piezoelectric transducer circuitry, Smart 
Materials and Structures, 2006, 15 (3), 799-808. 
[65] D. Mateescu, Y. Han, A. Misra, Dynamics of Structures with Piezoelectric 
Sensors and Actuators for Structural Health Monitoring, Key Engineering 
Materials, 2007, 347, 493-498. 
[66] V. Giurgiutiu and C.A. Rogers, Recent Advancements in the Electro-
Mechanical Impedance Method for Structural Health Monitoring and NDE, 
Proceedings of SPIE Conference on Smart Structures and Material, 1998, San 
Diego, California, 3329, 536-547. 
[67] S. Ritdumrongkul and Y. Fujino, Identification of the location and size of cracks 
in beam by piezoelectric actuator-sensor, Structural Control and Health 
Monitoring, 2007, 14 (6), 931-943. 
[68] Y.Y. Lim and C.K. Soh, Electro-Mechanical Impedance – Based Incipient 
Crack Monitoring and Critical Crack Identification of Beam Structures, 
Research in Nondestructive Evaluation, 2014, 25 (2), 82-98. 
[69] D. Wang, H. Song, H. Zhu, Electromechanical Impedance Analysis on 
Piezoelectric Smart Beam with Crack Based on Spectral Element Method, 
Mathematical Problems in Engineering, 2015, 2015 (4), 1-13. 
[70] T. Wang, B. Tan, M. Lu, Z. Zhang and G. Lu, Piezoelectric Electro-
Mechanical Impedance (EMI) Based Structural Crack Monitoring, Applied 
Sciences, 2020, 10 (13), 14pp. 
[71] K.K.-H. Tseng and A.S.K. Naidu, Non-parametric damage detection and 
characterization using smart piezoelectric material, Smart Materials and 
Structures, 2002, 11 (3), 317-329,. 
[72] Y. Hu and X. Zhang, Parametric vibration and stability of a functionally graded 
plate, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2011, 39 (3), 367-
377. 
109 
[73] X.F. Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of 
functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, Journal of Sound 
Vibration, 2008, 318 (4-5), 1210-1229. 
[74] L.O. Larbi, A. Kaci, M. S. A. Houari, and A. Tounsi, An efficient shear 
deformation beam theory based on neutral surface position for bending and 
free vibration of functionally graded beams, Mechanics Based Design of 
Structures and Machines, 2013, 41 (4), 421-433.. 
[75] S.A. Sina, H.M. Navazi and H. Haddadpour, An analytical method for free 
vibration analysis of functionally graded beams, Materials and Design, 2009, v 
30 (3), 741-747. 
[76] H. Su and J.R. Banerjee, Development of dynamic stiffness method for free 
vibration of functionally graded Timoshenko beam, Computers & Structures,, 
2015, 147, 107-116. 
[77] X. Wang, X. Liang, and C. Jin, Accurate dynamic analysis of functionally 
graded beams under a moving point load, Mechanics Based Design of 
Structures and Machines, 2017, 45 (1), 76-91. 
[78] A.C. Okafor, K. Chandrashekhara, Y. Jiang, Delamination prediction in 
composite beams with built-in piezoelectric devices using modal analysis and 
neural network, Smart Materials and Structures, 1996, 5 (3), 338-347. 
[79] J. Yang, Y. Chen, Free vibration and buckling analyses of functionally graded 
beams with edge cracks, Composite Structure, 2008, 83 (1), 48-60. 
[80] S.D. Akbas, Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally 
Graded Beams by Using Finite Element Method, International Journal of 
Engineering Trends and Technology, 2013, 4 (10), 4590-4597. 
[81] K. Aydin, Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number 
of surface cracks, European Journal of Mechanics A/Solid, 2013, 42, 112-124. 
[82] N.T. Khiem, N.N. Huyen and N.T. Long, Vibration of cracked Timoshenko 
beam made of functionally graded material, Shock & Vibration, 
Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting, Acoustics & Optics, 2017, 9 (15), 133-
143, 
[83] T.V. Lien, N.T. Duc, N.T. Khiem, Free and forced vibration analysis of 
multiple cracked FGM multispan continuous beams using the dynamic stiffness 
method, Latin American Journal of Solids and Structures, 2017, 14 (9), 1752-
1766. 
110 
[84] Z.G. Yu, F.L. Chu, Identification of crack in functionally graded material 
beams using the p-version of finite element method, Journal of Sound and 
Vibration, 2009, 325 (1-2), 69-84,. 
[85] A. Banerjee, B. Panigrahi and G. Pohit, Crack modelling and detection in 
Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour 
and response surface model with GA, Nondestructive Testing and Evaluation, 
2016, 31 (2), 142-164. 
[86] N.T. Khiem, N.N. Huyen, A method for crack identification in functionally 
graded Timoshenko beam, Nondestructive Testing and Evaluation, 2017, 32 
(3), 319-341. 
[87] M.K. Khorramabadi, A.R. Nezamabadi, Stability of functionally graded beams 
with piezoelectric layers based on the first order shear deformation theory," 
International Journal of Electrical and Computer Engineering, 2020, 4 (11), 
1641-1644. 
[88] Y.S. Li, W.J. Feng, Z.Y. Cai, Bending and free vibration of functionally graded 
piezoelectric beam based on modified strain gradient, Composite Structures, 
2014, 115, 41-50,. 
[89] N. N. Huyen, N. T. Khiem, Uncoupled Vibrations in Functionally Graded 
Timoshenko Beams, Journal of Science and Technology, 2016, 54 (6), 785-796. 
[90] N.T. Khiem, T.V. Lien, V.T.A. Ninh, Natural Frequencies of Multistep 
Functionally Graded Beam with Cracks, Iranian Journal Science and 
Technology. Trans. Mech. Eng, 2019, 43 (1), 881-916. 
[91] A. Chakraborty, S. Gopalakrishnan, A spectrally formulated finite element for 
wave propagation analysis in functionally graded beams, International Journal 
of Solids and Structures, 2003, 40 (10), 2421-2448. 
[92] N. T. Khiem, T. V. Lien, A simplified method for natural frequency analysis of 
multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2001, 245 (4), 737-
751.